关于数学

读书笔记/答案

交换代数笔记

GTM52笔记

MIT18.875代数数论的笔记

Serre有限群答案

I.M.Singer点拓的笔记

Gal理论笔记1

Gal理论笔记2

胡思乱想

杂记

关于计算机

Python速通笔记

杂记

关于一些古诗词的奇妙感觉

2.1

2.2

2.3

2.4

Ch1-2

Ch3-5

Chapter 2.2

ringed space非locally ringed的例子：取非局部环 ，定义预层 ，则其层化 是赋 离散拓扑后全部 连续映射，它在任意点处的stalk都是 。

考虑affine scheme时一个重点是忽略 以外形式的开集，绝大多数时间这些开集实际上不大重要，而且 形式的开集作为一组基实际上决定了 。

对 ， 中开集 就相当于 ，而 。

按定义存在 的开覆盖 ，其中 ，而 是 中开集，所以是若干 的并，而 且 ，从而 是scheme。

(a) 如果 reduced，取某个非零函数芽 ，它任何代表元 都非幂零，所以 非幂零；反过来如果 都reduced，那么对 ， 幂零则 在 中的像幂零，从而等于 ，按函数芽定义 在 的某个开邻域上限制为零，由于 任意所以 。

注：对scheme ， 未必是层，比如说考虑 ，其中 ，那么 ，考虑 ，它在一切 中是 ，然而在 中不幂零。

(b) 首先考虑affine scheme的情况，此时 ，因为 ， 在一组基 上与层 相同，而 与 有自然的同胚，所以它的层化就是 （考虑层化就是局部截面的 映射，满足层公理则局部截面粘成整体的截面……）。现在对一般的scheme ，存在开覆盖 , ，在 上对 层化的结果是 ，从而 是Scheme。

现在构造 ：令 为预层 ，则有自然的预层态射 ，与 给出的 复合就给出一个ringed space的态射 （底空间的映射是 态射）。接下来证明它是scheme的态射：考虑它在仿射开集上的限制，如前所述，对某个仿射开集 ，在它的主开集 上 已经构成了一个层，所以 ，从而这个 态射在 上的限制是 对应的 ， 是这些scheme态射的粘合，从而是scheme的态射。

(c) 由于 reduced, 每个 都可以分解为 , 按取red的预层定义 给出预层态射, 从而按层化泛性质提升到一个层态射 . 现在证明这是一个locally ringed space的态射, 也就是在stalk上的映射把极大理想拉回到极大理想, 从而得到了一个 映射 (底空间的映射还是 ):

考虑取red和归纳极限交换, 而任何极大理想都包含 , 从而 是scheme态射意味着上述 也是scheme态射. 而取red和归纳极限交换是因为某个 中元素是幂零元当且仅当存在幂零代表元 (否则任意幂次任何代表元非零, 意味着它任意幂次不等于零), 严格来说就是归纳系中 诱导的 的ker正是 的幂零元.

还需说明 复合为 . 事实上考虑层间的态射 , 因为主开集 上 , 它在主开集上与 相同, 从而这个它与 相同. 同时, 在底空间的映射是 , 所以复合映射与 在底空间的映射也相同, 因此它就是 .

事实上此题结论都任意locally ringed space都对, 也就是对locally ringed space 和仿射概形 , 存在自然的双射这个映射就是取global section对应的环同态. 首先证明单性: 考虑 , 如果它们诱导的 相同, 取 , 设 , stalk间的映射满足交换图其中 的极大理想 被拉回到 , 也就是说 可以被 沿 和 拉回唯一确定, 于是 在底空间的映射相同. 而考虑对应的层间映射 , 在主开集 上 且有交换图唯一确定了 , 从而 .

再证明满性: 给定一个环同态 , 我们据此定义一个态射 . stalk 的极大理想 , 沿着 被拉回为 中素理想 , 我们定义 . 为证明 连续, 只需注意到 即 在 中可逆, 也就是 在 某个开邻域上可逆, 所以如果 , 某个开邻域也包含其中, 所以 是开集.

关于环层之间的映射, 如前所述 中每个点 , 都存在一个开邻域上 可逆, 从而 可逆, 因此可以定义唯一使图表交换的映射具体来说这个映射是 , 从而stalk间映射 (令 ) 为 , 其中 , 而按定义 当且仅当 , 从而 是stalk间的局部映射.

2.4的简单推论.

零环的Spec的空集, global section是零环本身. 而任何它到locally ringed space的态射 对应一个环层的态射 , 相当于(空集上的section)环同态 , 因此 自然是locally ringed space范畴中的initial object.

是单点, 相当于(假设 被打到 )环同态 , 它是局部同态所以相当于某个非零的 嵌入.

是单点 . 作为 概形的 由自然嵌入 给出. 相当于对任意非空 都有 , 也就是 都是 -代数且限制映射为 -代数同态.

设 把单点打到 , 是 -代数局部同态 , 局部性即 , 由此 诱导出嵌入 , 但这是 -代数所以 .

而 等价于 ( 被打到 则它的像中元素在平方都是 , 在 中这种元素属于 ). 如果有这样的 则 诱导 -模同态 ; 反过来因为是 -代数且 , 中元素可以唯一写成 形式, , 故 线性映射, 也就是 对偶空间中元素, 都可以延拓至 的 -代数局部同态.

考虑affine covering , 在某个不包含于其它 的并的 中, 在 中闭且不可约, 从而形如 . 现在

Chapter 2.1

一般范畴上的层如此定义：对预层 和开集 的一组开覆盖 ，考虑图表左边的映射是 ，右边两个映射分别是 作为 和 往 上限制。如果这个图表对任意 和 的开覆盖，左边映射都是右边的equalizer（或者说是右边双箭头的limit），则 是一个sheaf。具体的比如说对 ， 和 的equalizer无非 ，所以 上截面相当于一组相容的 上截面，即得常见的sheaf定义。

关于direct image sheaf与inverse image sheaf：关于 不是sheaf的例子，考虑取 为单点空间而 不连通（）， 相当于 ，则我们得到了 上常值预层 ，但它不是层（在两个连通分支 上各取不同的 ，则无法找到一个 同时限制在 上是 ，是也就是同时等于 ） 。而它的层化则是连通分支那么多个份 的乘积（考虑stalk皆为 ，section的定义相当于要求是 的局部常值映射，所以在连通分支上有唯一取值）。

回忆 的section被定义为 满足 且对任意 存在 的邻域 上 是某个 的函数芽，即 。而平展空间被定义为使得 都连续的最强拓扑。考虑到 皆为单射，且如果 和 在某点 处的函数芽相同，按定义它们在 的某个邻域上相同（从而有交意味着在某个开集上相同），所以一组拓扑基正是 ，这里 是任意开集。假设 是一个连续截面，如果 非空，相当于在 上 恒成立，于是知U到平展空间的continuous section与 的section是一个东西。

设 是连续映射， 分别是 上的层，记 为 ，至于 关于 的限制映射考虑到定义 的偏序集是定义 的偏序集之子集，从而由colimit的universal property自然给出。类似地 在 中不同预层间的态射也由于colimit的构造，且关于 具有函子性。

只需证明 是 的左伴随，有自然同构证明此事由层化的universal property自然得到 是 左伴随。先定义自然的映射 和 。事实上对应包含 的偏序集中正包含 ，所以colimit自带了 ；对 则是但对每个 都有 ，所以每个 到 的限制给出了 。

现在给定态射 ，用 作用之后再用 拉回得到 ；类似地，给定 ，用 作用后再以 推出得到 。验证它们是互逆的自然变换则大功告成： 由包含 的 构成， 就是这些 到 的一族相容同态，以 作用后只考虑诸 ，而由于 包含 故colimit的cone构造中自带了 ，复合起来正是 ；反过来 就是 ，每个满足 的 都有向 的限制，于是用 作用后以 推出相当于给定 ，所有 的 对应的 给出的 。

简而言之，两者作用分别是对 取出所有colimit构造中带有的 ，以及对 关于合适的 对 取colimit，只需注意到对 ， 和 只差一个限制，则立即可知两者互逆。

对开集 ，将 中元素定义为满足以下条件的一族 ： ，且（考虑到层在开子集上的限制无需层化显然直接是层）记 则对任意 都有 。 到 的限制将每个 限制为 。现在验证 是层：显然 是预层，而且取 的开覆盖 ，如果 在一切 上限制相同，也就是他们每个 分量在 上限制相同，那么由于 是层所以 的每个分量相同，也就是 ，粘合性质的证明也类似不予废话了。还需要证明存在同构 ，但考虑到对 ， 中section就相当于它在 上分量（ 分量由 给出），从而 也立即可得。