About C-R Equations

关于局部线性

我们熟知有柯西-黎曼方程从从形式上看，对 在作为 可微时有其中 ， 时 ，则将 展开 分别给出 的全微分，从而便有C-R方程。换种写法便是的存在性意味着

更进一步的， 作为 映射的Jacobian矩阵为 。另一方面， 作为 意义下的局部线性是指 ，其中 ， 时 ，感性理解为 ，其几何意义即旋转与伸缩，从而复数乘法的作用与复平面上的一些实线性变换有对应也就是复数的矩阵表示带入Jacobian矩阵立即可得C-R方程。

事实上因为 与 均受同一 作用，自然就有 ，而就一种更直观的几何视角而言，考虑下图 绿、紫、红、蓝部分分别为 在 方向的投影（投影或者说在分量上的贡献） 、 在 方向的投影 、 在 方向的投影 、 在 方向的投影 ，则C-R方程无非三角函数的诱导公式（注意实际上这些微分都是线性泛函！）。

Wirtinger导数

定义Wirtinger导数事实上 的线性组合 满足的唯一解便是上述定义。
这里 是 的对偶基 ， 是 的对偶基。

此时C-R方程可以被简单地表示为而同时

为了解释考虑一个有启发性的例子。

设 ，多项式 总可以表为 与 的多项式因为 满足Leibniz律，所以 则 意味着 ，即 时 ， 是 的多项式，感性一点讲就是依赖于 而不依赖于 。这种事实也可以推广到无穷收敛幂级数的类似情形。

共形映射

Reference

Ahlfors - Complex Analysis

Borcherds的网课第五节