Notes On MIT18.875

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Lec 1&2

正特征域上绝对值均非阿，有限域上绝对值均平凡

注意到特征 域上 ，从而 为 或 。 如果 是有限域，则 ，从而 非零时 。

  1. 在试图证1.5的时候我发现 等等，再考虑到仿照 的想法得到如下证明：由 ，有 同理 ，若 则可知 。
  2. 注意到有将 映到 的 嵌入。

  1. 如果 即 ，则欲证 只需证 ，即 。现在只需证 推出 ，而假若不然 时， ，但因为 左边是右边的高阶无穷大，矛盾。

  2. 假设 是一个 上的绝对值。首先证明存在 使得 ，则 非阿：取 ，把 关于 进制展开因为 所以以 代 则是 ，其中 ，使 得到 ，明所欲证。现在假设 阿基米德，任意 均满足 ，取 ，如上以 进制展开 ，令 ，则 ，从而以 代 得到 ，使 得到 。由于 可以任取，令 ，则 ，而且因为阿基米德所以 ，进而给出 和 的等价。而如果 非阿，考虑赋值环 ，对应有极大理想 ，特别的， ， 是 中素理想，从而为某个 。由此知，对一切与 相异的素数 ， ，而 ，从而 。

  3. 考虑到对 ，而 。

  1. 当且仅当 即 ； ； 。
  2. 显然。
  3. 非 时， 是 的一个离散赋值，对应离散赋值环为局部化环 ，其极大理想是 ，也就是局部化 ，从而剩余域 为 对应的单代数扩张。
  4. ，其极大理想 是一切不可逆元组成的理想，也就是一切 的元素。取 ， 且 而 （ 可以为 ），那么“在 处的取值”，将 打到 给出 满同态，其Kernel正是 ，由此知剩余域 。
  5. 首先 正特征一定非阿。对一般的多项式 有 。注意到 中一切正次数多项式绝对值大于 ，而 中则小于 ，于是考虑 的取值。如果 ，按Prob 0中(a)问结论， ，从而显然 与 等价；如果 ，考虑赋值环 和其极大理想 ，我们有 ，因而 是 中素理想，形如 ，因此 而对其它 中素元 有 。
  6. 显然。

  1. 中元素在 上整当且仅当其在 上极小多项式系数都在 中。对 ，这相当于要求 且 。于是知在 时， ，在 时， 。
  2. 以及 是自由 -模。不妨设 ，于是 即为 中行列式 。
  3. 是 中素理想，从而必然包含某个 。如果 中理想 真包含于 ，按 (a) 结论 是诺特环 的商环从而诺特。接下来说明 是极大理想：令 ，则 是 的子环， 是域而 在 上整，从而 是域。此外 按定义整闭，这就证明了 是Dedekind整环。接下来首先证明 中理想都包含某个素理想的有限乘积：按诺特性取不满足者中极大的 ，则 自己非素理想，存在 但 ，从而 和 都包含素理想乘积，而它们乘积包含于 ，从而 中包含素理想乘积，矛盾。现在 包含素理想的乘积 ，诸 互不相同，取 ，且对 取 ，按中国剩余定理存在某个 满足 且 ，那么 在一切极大理想处的局部化与 相同（考虑到 关于素理想的局部化都是DVR），从而两者作为它们的交相同 （Prop 2.16）。
  4. 先假设 是奇素数。考虑到 ，而 为 或 ，从而 特征 且是 的至多二次扩张。如果 中没有 ，那么 同构于 是域，此时 是极大理想， ，按二次剩余道理此时相当于说 ；反过来如果 是模 的二次剩余， ，也就是 ， 并非 或者 中的素理想，从而 严格比 更大， ，于是此时 。

  1. 只需注意到 情形下绝对值定义为 。
  2. 意味着 ，从而 ，这里 满射是因为，取 和 ， ，那么 被打到 （现证了一遍CRT），于是 。而 中元素 可逆等于说 ，整数情况显然，现在考虑 情形， 中代表元可以选取为次数 的全体多项式，类似的 中代表元就是全体次数 者，其中 的全体倍数是 乘以一个次数 的多项式 ，于是知恰好 。
    1. 和 UFD性质的立即推论。
  4. 考虑 在 上的作用给出 上的置换，从而因此 。
  5. 时这个乘积相当于 中非零元素乘积的平方，而 中非零元素乘积为 （ 的元素只有 ），它平方为 ； 时这个乘积相当于 中非零元素乘积，从而为 。
  6. 。如果 那么 ；反过来 是域，其乘法群是循环群，所以 则 为其生成元的 的倍数次方。考虑Abel群的正合列其中 为模 投影，按GTM7上这个Lemma （II.3 P16）有 ，其中 同构于 Missing superscript or subscript argument(A/b)^ ，由此知 $(A/bn)$ 到 群同态 的Kernel大小恰为 ，因此 大小正是 。