semi
local的例子有局部环的乘积和
如果放弃命题中 的有限性条件，则
(1) 有反例 ， 而 ；(2) 有反例
， ， ，这里 是第n个素数。
设 ，注意到
可逆 ，从而 有逆元 。
(i)： 只需注意到 幂零，从而 被分解为可逆+幂零。现考虑 ：假设 的逆为 ，则有 ，
等等，在第二个式子两侧同乘 得
，同乘 得 ，如此递归下去直至 ，而 可逆故 幂零。
为可逆元加幂零元，从而也是可逆元，因此递归可知 皆幂零。
(ii)：类似的手段，证明 幂零于是
幂零。
(iii)：取 最小的使 的 ，考虑到如果 使 ，则 ，从而 （否则 ， 次数下降），于是 ，结合 知 。
(iv): ：若 本原，只需考虑其系数环量组合为 的式子中分别关于 和 主元整理即可知 本原。 ：模仿Gauss引理证明即可。若
分别本原，也就是 且 ，假若
并非本原，即其系数生成理想是真理想，则存在某个极大理想 包含它，从而对 ，在 中 但 ，矛盾。
没区别。
只需证如果 可逆对任意 成立，则 幂零。设 ，则 可逆，从而由 知 均幂零。
(i)：显然。(ii)： 幂零则 幂零，从而 幂零，如此递归即可证明
皆幂零。(iii)：(i)的立即推论。(iv)：由(iii)， ，从而 ，于是 ，从而
是域，即知
极大。(v)：考虑理想 。
只需证Jacobson根都幂零即可。设
可逆对任意 成立，如果 非幂零，则 中包含幂等元 ，而 可逆意味着存在 使得 ，从而同乘 得 ，则 ，矛盾。
对素理想 ，商环 是整环，而任何元素 的投影 为 的根，如果
非零则 从而可逆。因此 为域。
对一族下降素理想
，考虑 。对 ，每个 都至少包含
一者，从而至少有一个，假设是
被包含于无穷多 中，因而
。现在对全部素理想关于被包含关系应用Zorn引理即可。
：显然。 ：考虑到包含 素理想和 的素理想一一对应，而 中 是其一切素理想的交。
(i)(ii)：依题意 为素理想。对 ，若 不可逆则存在极大理想包含 ，和素理想唯一性矛盾。(ii)(iii)：显然。(iii)(i)：显然。
(i)：考虑 。(ii)：商环是整环， 意味着 或 。(iii)：将布尔环类比为
，从而加法成为按位异或而乘法为与，容易注意到 应是 生成的理想。现在回到题目便是验证
，而事实上
，于是即得证结论。
和1.6没区别，考虑如果有非
的幂等元 ，那么有极大理想 包含 ，从而 是Jacobson，进而 可逆，矛盾。
只需证对有限情形， 是
中真理想。事实上归纳然后商掉
即可。
中极大元素的商环必是整环。
(iv)：依
中论述
为包含
的一切素理想之交。
(v)、(vi)：对理想
，已知
且
。此外
则
有开覆盖即
因此存在
和
的有限子集
使
，其中
而
。从而
(vii)：显然有限多
的并拟紧。反过来
为若干
之并，从而取出有限覆盖即可。
(i)、(ii)、(iii)：(iv)：等于说 或 。
不可约等于说 且 ，则 ，即
且 ，则
，而这就是素性的定义。
(i)：稠密开集依然稠密。(ii)：不可约空间的包含升链之并不可约，因此可以应用Zorn引理。(iii)：如果不闭那么取闭包会更大。
不可约意味着存在包含它的极大不可约子空间，故不可约子空间的并为
。Hausdorff空间中不可约集合无非单点。(iv)：先证明 不可约当且仅当 素。事实上 即 ，
不可约即意味着
之一包含于 ， 至少有一个等于
。于是至此 为极大不可约元即意味着 为极小素理想。
(i)：
即
当且仅当
即
。(ii)：
即
当且仅当
即
。(iii)：考虑到
而
于是
。(iv)：
为连续双射直接源于对应定理。现在考虑到
，因此
连续，故
是同胚。(v)：(iii)。(iv)：显然。(vii)：
令 为只有第 个分量为 其余为 的元，对素理想 ， 故 之一在 中。因此 中的素理想 具有形式，于是
，典范同构是显然的。现证明三个条件等的价性：
(i)(iii)：假设 ，则 且 。现在存在 和 使 且
幂零。考虑环直积的结构，我们希望构造某个 且 ，如果存在这样的元素那么 两侧同乘 知 ，类似地 ，于是 。现在回到 的构造，令 ，则 ， 是可逆元，因此 而 ，现在选取 和 使 即可。
(iii)(ii)：注意到在 中， ，而对幂等元 ，
可以得到另一个环的单位元。回到问题，就是注意到对幂等元 ， 容易验证同样是幂等元， 且 ，从而 。
(ii)(i)：上面证过了。
注：此题中(i)推(iii)也可以通过如下引理得到
中的幂等元可以被提升为
中幂等元，这里
假设存在
，也就是
，那么由中国剩余定理从而直接得到一个幂等元。
(i)：。(ii)：。
(iii)：假设 既开又闭。则
，考虑在上一题(i)推(iii)过程中选出的 ，实际上过程给出了 其中
为可逆元，从而一切包含
的素理想包含 从而包含 ，包含 的素理想包含 ，由于Boole环中 ，故
，同理 。
另证：依 ， 拟紧，于是 闭集从而拟紧，又因为 是开集，所以它是有限多 的并，于是只需考虑(ii)。
(iv)：只需证Hausdorff，而这是因为Boole环中素理想皆极大（）。
除加法结合律外皆显然，而事实上利用分配律易证
，从而
反过来的验证和说明这两个对应关系互逆的证明同样循规蹈矩。
对Boole格 ，取其对应Boole环 ，则 为紧Hausdorff空间，且 即 意味着 。又因为 中理想皆radical，故 单，且 中已经证明了它满。
形式的零点定理等价于所谓弱零点定理，也就是 中极大理想 皆有
形式，事实上考虑 有
，取 有 从而 。
反过来如果弱零点定理成立，那么对真理想 和 ，考虑 中多项式
，则这些多项式无公共零点，从而存在
使得代入 便知 。
假若存在坐标环间的 -代数同态 ，取
，现在只需证明对应的多项式映射
是 到 的映射，从而自然诱导出的 就是 。事实上 把 拉回到 ，也就是对任意 都有 ， 于是 。
我们也可以这么考虑：任何
一一对应于 中包含
的极大理想，也就是 中极大理想 。-代数同态 诱导出
满同态（ 中就有一份
，从而自然是满射），于是对应某个极大理想 ，其中 。也就是说 把在 点处的取值拉回到在 点处取值，从而 把 打到 。