(v)
局部化和取radical交换
一方面显然 。反过来,如果对 , ,即
对某个 ,即 ,则可知 ,于是
。
设 为 的生成元,取 杀掉 ,诸 乘积杀掉 。
只需验证对
,任意 可逆,按理想吸收律只需验证
总可逆,然而分子分母都是
中元素,因而可逆。
已知
,需要证存在 使
,由 相当于要证
其中 ,而 意味着
,又 包含于
的Jacobson根,所以 。
考虑如下图表,实箭头都是局部化的自然映射,由于 将 打到可逆元,所以依局部化泛性质存在唯一
使图表交换,类似地, 分解出
,
分解出 。显然这两个映射互逆,从而为同构。
首先验证
是 -模,事实上
自然给出了数乘。现在考虑 ,如果 ,考虑 在 上数乘定义即
,于是即知良定义,线性和单满性立即可知。
可知 ,于是在 中, ,即 被某个 中元素杀掉,但取 为包含 的极大理想, 需要被 中元素杀掉,矛盾。
整环的情形则有反例。考虑 (环直积),则素理想是
和
,然而关于任一的局部环都同构于 (比如说关于 , 中被杀掉的元素只有 ,也就是自然同态 的 ,因而
是整环。
依Zorn引理存在极大的乘性子集
。如果能证明
是理想(从而是素理想),则自动是极小的素理想(每个素理想都包含极小的素理想,
)。事实上极大的条件相当于任意 都被某个
杀掉,从而立即可知 是理想。
(i):如果
是素理想,则 依定义满足
,因此任意多素理想补集的交依然具有saturated性质。反过来,对 ,考虑上一题中的
可以改成不交而不影响证明,于是知包含 而不包含 和某个 的全体极大乘性子集之交是
,而这些极大乘性子集的补集都是素理想,从而得以将 表为素理想的并。
(ii):考虑到某个saturated乘性子集包含 ,当且仅当它是某些与 不交的素理想之并的补集。对 ,考虑到 与 不交当且仅当
,于是立即知
,也就是一切包含
极大理想之并的补集。
(i)(ii): 是同构,把 打到unit,因而 是unit。反过来,如果 总是unit,那么 如果把 打到 ,则 被某个 零化,从而 ,因此 单;由于 ,所以 满。
(ii)(iii): 当且仅当 ,即 ,反过来如果
,则考虑 即可
(iii)(iv):定义
(iv)(v):显然。
(v)(ii): 在
中不被包含于任何素理想,从而是可逆元。
如果 ,那么 则 ,进而 ,故 ,从而
multiplicative,而saturated显然。要证极小素理想都是零因子,只需证极大乘性子集都包含
,再应用 ,事实上乘性子集添进来
不会致使它中出现 。
(i):显然。(ii): 是 的子环,因而 中零因子在 中仍是零因子,而非零因子则就是
中元素,从而可逆。(iii):关于全部可逆元局部化得到它自己。
(i)(ii):
(ii)(iii):假设 ,
,故
,但
(iii)(iv): ,由于 平坦保持嵌入,所以只需要对 ,证明 即可,而 , ,从而 ,假设
包含于极大理想 ,则 ,于是
。
(i) 显然。
(ii) 考虑到 所以 (或者说 中素理想皆满足 从而 有左逆是单射)。
反过来,如果 但不能推出 中的素理想皆为 中素理想的扩张,比如说考虑 ,其中素理想皆形如 ,这里 是 中素理想,然而 中真理想的扩张都不会包含 。
(i) 是单射且连续,反过来由于 素理想和 中与
不交之素理想的一一对应关系保序所以显然这是同胚。 是指 关于 生成的乘性子集局部化,那么和 不交的素理想就是不包含
的素理想。
(ii) 考虑到局部化使下图交换
而
到
和
到
的嵌入就是由沿
和
的原像给出,那么立即可得
为
于
上的限制。而一方面来说,
也就是
意味着
,于是
;反过来如果
,那么
。
(iii) 考虑相同的交换图即可。
(iv)
考虑到 属于 一切开邻域之交等价于 ,即 ,而 中素理想和 中包含于 的素理想一一对应。