Notes on Atiyah's Commutative Algebra 3

(v) 局部化和取radical交换

一方面显然 。反过来,如果对 ,即 对某个 ,即 ,则可知 ,于是

的生成元,取 杀掉 ,诸 乘积杀掉

只需验证对 ,任意 可逆,按理想吸收律只需验证 总可逆,然而分子分母都是 中元素,因而可逆。

已知 ,需要证存在 使 ,由 相当于要证 其中 ,而 意味着 ,又 包含于 的Jacobson根,所以

考虑如下图表,实箭头都是局部化的自然映射,由于 打到可逆元,所以依局部化泛性质存在唯一 使图表交换,类似地, 分解出 分解出 。显然这两个映射互逆,从而为同构。

AS¡1A(ST)¡1AU¡1(S¡1A)

首先验证 -模,事实上 自然给出了数乘。现在考虑 ,如果 ,考虑 上数乘定义即 ,于是即知良定义,线性和单满性立即可知。

可知 ,于是在 中, ,即 被某个 中元素杀掉,但取 为包含 的极大理想, 需要被 中元素杀掉,矛盾。

整环的情形则有反例。考虑 (环直积),则素理想是 ,然而关于任一的局部环都同构于 (比如说关于 中被杀掉的元素只有 ,也就是自然同态 ,因而 是整环。

依Zorn引理存在极大的乘性子集 。如果能证明 是理想(从而是素理想),则自动是极小的素理想(每个素理想都包含极小的素理想, )。事实上极大的条件相当于任意 都被某个 杀掉,从而立即可知 是理想。

(i):如果 是素理想,则 依定义满足 ,因此任意多素理想补集的交依然具有saturated性质。反过来,对 ,考虑上一题中的 可以改成不交而不影响证明,于是知包含 而不包含 和某个 的全体极大乘性子集之交是 ,而这些极大乘性子集的补集都是素理想,从而得以将 表为素理想的并。

(ii):考虑到某个saturated乘性子集包含 ,当且仅当它是某些与 不交的素理想之并的补集。对 ,考虑到 不交当且仅当 ,于是立即知 ,也就是一切包含 极大理想之并的补集。

(i)(ii): 是同构,把 打到unit,因而 是unit。反过来,如果 总是unit,那么 如果把 打到 ,则 被某个 零化,从而 ,因此 单;由于 ,所以 满。
(ii)(iii): 当且仅当 ,即 ,反过来如果 ,则考虑 即可
(iii)(iv):定义
(iv)(v):显然。
(v)(ii): 中不被包含于任何素理想,从而是可逆元。

如果 ,那么 ,进而 ,故 ,从而 multiplicative,而saturated显然。要证极小素理想都是零因子,只需证极大乘性子集都包含 ,再应用 ,事实上乘性子集添进来 不会致使它中出现
(i):显然。(ii): 的子环,因而 中零因子在 中仍是零因子,而非零因子则就是 中元素,从而可逆。(iii):关于全部可逆元局部化得到它自己。

(i)(ii):
(ii)(iii):假设 ,故 ,但
(iii)(iv): ,由于 平坦保持嵌入,所以只需要对 ,证明 即可,而 ,从而 ,假设 包含于极大理想 ,则 ,于是

(i) 显然。 (ii) 考虑到 所以 (或者说 中素理想皆满足 从而 有左逆是单射)。
反过来,如果 但不能推出 中的素理想皆为 中素理想的扩张,比如说考虑 ,其中素理想皆形如 ,这里 中素理想,然而 中真理想的扩张都不会包含

(i) 是单射且连续,反过来由于 素理想和 中与 不交之素理想的一一对应关系保序所以显然这是同胚。 是指 关于 生成的乘性子集局部化,那么和 不交的素理想就是不包含 的素理想。
(ii) 考虑到局部化使下图交换

ABS¡1AS¡1Bf®¯S¡1f


的嵌入就是由沿 的原像给出,那么立即可得 上的限制。而一方面来说, 也就是 意味着 ,于是 ;反过来如果 ,那么
(iii) 考虑相同的交换图即可。
(iv)

考虑到 属于 一切开邻域之交等价于 ,即 ,而 中素理想和 中包含于 的素理想一一对应。