(v)
局部化和取radical交换
一方面显然 。反过来，如果对 ， ，即
对某个 ，即 ，则可知 ，于是
。
设 为 的生成元，取 杀掉 ，诸 乘积杀掉 。
只需验证对
，任意 可逆，按理想吸收律只需验证
总可逆，然而分子分母都是
中元素，因而可逆。
已知
，需要证存在 使
，由 相当于要证
其中 ，而 意味着
，又 包含于
的Jacobson根，所以 。
考虑如下图表，实箭头都是局部化的自然映射，由于 将 打到可逆元，所以依局部化泛性质存在唯一
使图表交换，类似地， 分解出
，
分解出 。显然这两个映射互逆，从而为同构。
首先验证
是 -模，事实上
自然给出了数乘。现在考虑 ，如果 ，考虑 在 上数乘定义即
，于是即知良定义，线性和单满性立即可知。
可知 ，于是在 中， ，即 被某个 中元素杀掉，但取 为包含 的极大理想， 需要被 中元素杀掉，矛盾。
整环的情形则有反例。考虑 （环直积），则素理想是
和
，然而关于任一的局部环都同构于 （比如说关于 ， 中被杀掉的元素只有 ，也就是自然同态 的 ，因而
是整环。
依Zorn引理存在极大的乘性子集
。如果能证明
是理想（从而是素理想），则自动是极小的素理想（每个素理想都包含极小的素理想，
）。事实上极大的条件相当于任意 都被某个
杀掉，从而立即可知 是理想。
(i)：如果
是素理想，则 依定义满足
，因此任意多素理想补集的交依然具有saturated性质。反过来，对 ，考虑上一题中的
可以改成不交而不影响证明，于是知包含 而不包含 和某个 的全体极大乘性子集之交是
，而这些极大乘性子集的补集都是素理想，从而得以将 表为素理想的并。
(ii)：考虑到某个saturated乘性子集包含 ，当且仅当它是某些与 不交的素理想之并的补集。对 ，考虑到 与 不交当且仅当
，于是立即知
，也就是一切包含
极大理想之并的补集。
(i)(ii)： 是同构，把 打到unit，因而 是unit。反过来，如果 总是unit，那么 如果把 打到 ，则 被某个 零化，从而 ，因此 单；由于 ，所以 满。
(ii)(iii)： 当且仅当 ，即 ，反过来如果
，则考虑 即可
(iii)(iv)：定义
(iv)(v)：显然。
(v)(ii)： 在
中不被包含于任何素理想，从而是可逆元。
如果 ，那么 则 ，进而 ，故 ，从而
multiplicative，而saturated显然。要证极小素理想都是零因子，只需证极大乘性子集都包含
，再应用 ，事实上乘性子集添进来
不会致使它中出现 。
(i)：显然。(ii)： 是 的子环，因而 中零因子在 中仍是零因子，而非零因子则就是
中元素，从而可逆。(iii)：关于全部可逆元局部化得到它自己。
(i)(ii)：
(ii)(iii)：假设 ，
，故
，但
(iii)(iv)： ，由于 平坦保持嵌入，所以只需要对 ，证明 即可，而 ， ，从而 ，假设
包含于极大理想 ，则 ，于是
。
(i) 显然。
(ii) 考虑到 所以 （或者说 中素理想皆满足 从而 有左逆是单射）。
反过来，如果 但不能推出 中的素理想皆为 中素理想的扩张，比如说考虑 ，其中素理想皆形如 ，这里 是 中素理想，然而 中真理想的扩张都不会包含 。
(i) 是单射且连续，反过来由于 素理想和 中与
不交之素理想的一一对应关系保序所以显然这是同胚。 是指 关于 生成的乘性子集局部化，那么和 不交的素理想就是不包含
的素理想。
(ii) 考虑到局部化使下图交换
而
到
和
到
的嵌入就是由沿
和
的原像给出，那么立即可得
为
于
上的限制。而一方面来说，
也就是
意味着
，于是
；反过来如果
，那么
。
(iii) 考虑相同的交换图即可。
(iv)
考虑到 属于 一切开邻域之交等价于 ，即 ，而 中素理想和 中包含于 的素理想一一对应。