Artin模
Reading: Section 2.4
Exercises: 2.23
Classify the modules of finite length over k[x]. Find an Artinian module
over this ring that is not Noetherian.
一切只有有限多元素的模都既Noether又Artin;有限生成的线性空间既Noether又Artin。
Noether但不Artin,考虑 ; Noether但不Artin
作为 -模既不Noether也不Artin
Artin但不Noether,事实上注意到它是 ,从而有包含升链
,而由于这些子模给出它全部真子模,所以它Artin。它被称作 的injective
envelope(也是所谓的Prüfer p-群),某种意义上是 的对偶。
任何PID商去某个非零理想都同时是Noether环和Artin环;作为非交换的例子,矩阵环
和有限群的群环
都既Noether又Artin,事实上任何是有限维 -线性空间的 -代数都既Noether又Artin,因为它们的理想都是子空间。
单模 是非零的,子模只有 和它自己的模
环 上的单模有且仅有 , 是 的极大理想
对模
,称它的一个合成列 是子模的链 且每个
皆为单模,如果 有合成列则称 有有限的长度
有限维线性空间都有有限长度, 都有有限长度
长度有限当且仅当 既Noether又Artin
假设
长度有限。首先单模既Noether又Artin,而我们知道如果有正合列 如果 Noether则 Noether,如果 Artin则 Artin,那么考虑一系列正合列 即可证明
既Noether又Artin。
反过来,可以不断选取 和
作为极小的真包含
的子模,这样取出来的升链一定稳定。
下面这个定理属于带算子的群上Jordan-Holder定理在关于模的情形:
如果 长度有限,则
的合成列都有相同的长度,且每个单模在合成列中出现的次数与合成列的选取无关
取两个合成列 和 ,画成下图中的样子 其中 列 行处是
。考虑这里面每一个小方块的包含关系, 是 的子模,要么就是 要么是
,而竖向的商同理,从而如果左下不等于右上,则小方块里要么四个商都非零,横向两个商相等且竖向两个商相等,要么两个是
两个不是(并且只能是左下两个商是
,考虑到 是
的子模)且右上两个商相等 现在考虑按图中最右上和最左下两个路线得到的合成列就是
和
,而我们可以一个小方块一个小方块地把右上一路换到左下,这个过程每一步都不影响合成列中某个单模出现的数量。
假设有正合列 ,如果 长度有限,则
长度有限,且长度等于 与 的长度之和
Artin环
Reading: Section 2.4
Exercises: 2.6, 2.22 (this one is a bit tricky)
某种意义上Artin环是有限维线性空间的推广。
下列条件等价:
(i) 诺特且 是极大理想的乘积
(ii)
诺特且素理想皆极大(也就是
零维)
(iii) 长度有限
(iv) 是Artin环
(i) (ii):
,于是某个 包含于
(ii) (iii):假设 长度不有限,取极大的使 长度不有限的理想 ,先证明 素理想。记 ,假若 中 且 非零,则 长度有限,且乘 自然给出满射 ,由于满射所以 也长度有限,从而由正合列 知 长度有限,矛盾,故 之一为零,即 素理想,从而 是极大理想, 是单模,矛盾。
(iii) (iv):已经证明。
(iv) (i):首先证明
是极大理想的乘积。取极大理想的所有乘积中极小的 ,则 对任意极大理想 成立,从而由于 是极大理想的乘积, 。如果 ,则可以取极小的使 的 ,那么对某个 , ,于是按 极小性 。同时 给出 ,从而 对某个 ,也就是 。而 包含于一切极大理想中(否则 于是
真包含于 ),故 不在任何极大理想中从而可逆, ,矛盾,于是知 。
现在证明 诺特。设
,考虑 这里每个
都是 -线性空间,且由Artin条件有限维,从而作为
-模长度有限。每个因子都长度有限意味着
长度有限,从而诺特。
注:
一般不同构于
,事实上一般前者维数大于1,比如说考虑 , , ,则 是一维 -线性空间,而 二维(有基
)。
Artin环只有有限多极大理想,且是Artin局部环的乘积
考虑
,按中国剩余定理 而
有唯一的素理想。
Artin环的素谱是有限集的离散拓扑,极大理想给出其中的所有点
注:若诺特环的
是有限集的离散拓扑,则可以证明它Artin(显然素理想皆极大),如果没有诺特的条件则不然
考虑环
,它有唯一的素理想
(因为 从而 ),但它不诺特(从而不Artin)。
Artin环皆长度有限,所以可以按照长度来分类。长度 的Artin环只有零环,长度 的Artin环都是域。长度
时情况开始变得有趣。我们可以举出来一些例子:令 ,考虑 , 是一个二次多项式,如果 ,则 ,如果 有重根则相当于 这些都是长度 的情况,而 不可约时则 是域长度 。当然也有 非 -线性空间的例子,比如说 而 。
长度 的情况也类似,比如说
, 也可以是 。对长度 的情况,考虑 , 具有 而 具有 ,平方是 的映射,后者 所以同构于 ,某种意义上这相当于在其中编码了一个二次型。长度
的情况则更复杂,取某个 , ,相当于要分类
中的幂零元。幂零的数学对象,像是Artin环、幂零李代数、有限 -群等等,在生成元多的时候会变得极其复杂,比如说
阶群有 个。
Reading: Section 2.4
Exercises: 2.24
Try to classify Artinian rings of length 3 or 4 over a field. (You do
not need to succeed: the point is that you see how complicated this
is.)