(i)：若 非单射，则 是无穷严格升链，矛盾。 (ii)： 若非满射，则 真包含于 ，而由 单性 真包含于
，以此类推得到无穷包含降链，矛盾。
改成有限生成对升链条件相关证明并无影响。
考虑 ，诱导出 到
的嵌入，而诺特模的直和诺特。
注意到作为 模，取 的生成元组，则
是诺特模的子模从而诺特，而 ，由上一题结论知 诺特。
对Artin环情形此结论不成立，本章开头例子里(3)中Artin非诺特环就是反例。显然
，而 非Artin。
子空间诺特无非relative
topology的定义，而拟紧则是考虑包含升链即可。
不可被表为不可约闭集有限并的
闭子集组成的集合有极小元，但它要么自己就是不可约闭集，要么可被表示为两个真子闭集的并。
的降链条件由
的升链条件给出。反过来 诺特并不意味着
诺特，譬如说
，它的素谱是单点。
全体极小素理想组成集合
拟紧，而极小素理想间互不包含，则极小素理想多于一个时对应的基本开集 并覆盖
，可以取出有限覆盖意味着极小素理想有限。