(Remark) 诺特环
的形式幂级数环是诺特环
对 中理想 ，考虑理想 定义为一切 的幂级数第 次项系数（ 为最小系数非零次项次数），则 构成 中理想升链从而稳定为 。因而对某个形式幂级数
，不妨设其非零项次数大于等于
（
部分和上一个证明完全无异），则会得到一系列（ 在 被消去后变成 ）
这涉及到无穷多次求和的操作，但注意到其中 系数（对次数大于等于 时）形如可和，从而也是形式幂级数。
显然 可以Zorn取极大元 。假设 ，而 ，那么 有限生成，也就是被 生成，这里
，特别地，每个
都可以被写成 形式，从而设
，则 。而 ，从而 严格包含
，因而有限生成，而 有限生成，矛盾。
显然如果 幂零则 皆幂零。反过来，如果诸 幂零，考虑理想 ，假设
被 生成，取 ， 和 ，则 中每项皆为 中元素，而 由 生成，其中
，因而 ，于是 。
如果 诺特，对 中理想 ，考虑它在
中生成的理想，再取生成元组常数项系数即可证明有限生成。（或者考虑 作为 的商环诺特）
和基定理证明毫无区别。
考虑 中的理想 ，其中
是 的生成元，则如果它有公共零点
，那么首先诸 在 处为 ，从而 ， 在
处为零，但这意味着 在 处的取值是 ，矛盾。于是 没有公共零点，由弱零点定理它是 。特别地带入 ，把分母乘过去即知即 。