Notes On MIT18.785 2

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  1. 相当于说 当且仅当 且 。

  2. (浸梨花和psei的做法)记 为 的一个根。显然 可分从而 可分，而 纯不可分。反过来假若 可以写成 纯不可分扩张 的可分扩张，则 ，且 ，考虑到 在代数闭包中分裂为 $(t-a_i)p $ 形式，其中 互不相同，则 在 上的极小多项式（因为可分， 次）形如 ，从而 即 ，意味着 ，因而 ，矛盾。
    事实上更具体的， 中 的可分闭包 形如 ，其中 （ 且扩张次数相同）， 的根形如 ， 。

  3. 将 写作 ，设 是 极小多项式，则作为 -代数 ，它完全取决于 在 中的的因式分解。如果 ，

  4. 考虑到 的极小多项式 ，从而 是 两个二次扩张的乘积。

  5. 如果 在加法群中的阶是 ，则必然是 ；否则 ，取这个环中不是 的 ，则 在加法群中的阶也是 ，从而 给出加群的一组生成元，因此可以把这个环写成 ，考虑下CRT即知有 、 和 三种可能，前两种是平展 代数。

  1. （应该是笔误，把fractional打成prime）假设并非域的整环 中非零分式理想皆可逆，只需证 诺特且关于素理想的局部化皆DVR。首先 诺特：对理想 ， ，从而存在 ，其中 ， ，从而对任意 ， ，而按Lemma 2.20有 ，从而 ，于是 有限生成。考虑 在 处局部化知 中理想皆可逆。现在开始假设 是局部环，极大理想为 ，为证明DVR先证明 中理想皆为 的幂次：假若不然，由诺特性，存在极大的不能表为 的幂次的理想 ， ，从而 是真理想，如果 即 ，由Nayakama引理 ，从而 ，与 极大性矛盾。现在由于 是整环， 非幂零，如果 那么同样由Nayakama引理 ，故 的任意幂次互不相同，特别地存在 ，而 也是 的幂次，从而 而 ，即得证 是DVR。

  2. 只需证明一切非零素理想皆可逆，从而一切理想皆可逆。现在依次证明三个结论 (1) 任意环中理想的乘积 可逆当且仅当诸 皆可逆：如果 可逆， 的逆是 ，反过来如果 皆可逆则显然 可逆。(2) 任意环中可逆理想如果可以被写成素理想的乘积，则这种分解在置换意义上唯一：假设 可逆，如果 ，那么首先至少一个 ，如果这是真包含则 ，矛盾，所以 ，也同理由可逆知剩下的 都是 ，也就是 ；现在取一个包含意义上极小的 ，则有某个 ，而且存在某个 ，由极小性知 ，于是 ，按可逆消去两者归纳便知分解的唯一性。 (3) 如果 中理想都可以写成有限素理想的乘积，则 中非零素理想均可逆：对非零素理想 ，取非零元 ，写成素理想的乘积 ，则由于 可逆 均可逆，至少一个可逆的 包含于 ，现在只需证明可逆的素理想极大则可说明 可逆。假设 是可逆素理想，取 ， 如果是真理想，则可写成素理想的有限乘积 ，这些素理想都包含 （包含它们的乘积），从而对应到 投影在整环 中主理想 分解为 中素理想有限乘积 ，而由于 是整环且 ， 可逆， 皆可逆，而 唯一分解为 ，也就是 ，因此在 中， ，即 可逆， 。

  3. 如果某个理想 不能写成极大理想的乘积，那么取极大理想 ，则有分解 ，而后再取 ，则有分解 ……其中每个 皆非极大，且 ，由诺特性其中某一步开始， ， ，由Nayakama引理存在 ， ，但这是整环所以 ，从而 。 由此证明了任何理想都能写成素理想的乘积，从而由 (b) 知dedekind。

  4. 等于说理想可逆。

  5. 与 (f) 等价。

  6. 诺特性已有，只需证明关于素理想的局部环皆DVR。事实上，取素理想 并在局部化环中考虑，令 ， ，则由Nayakama引理 ，取 而 ，使得 ，则 ，也就是说 ，那么商去 得到 ，由Nayakama引理知 。现在由于对 ， ，所以由Nayakama ，因此对理想 ，可以把 中 因子都提出来（分解为 ，） ，于是得到 ，诸 不全属于 ，也就是存在可逆元，由此知 。

  7. 的极小多项式是 但不属于 。