对三维叉乘，它的核心性质是，假设
是两个向量，我们希望定义它们的外积 ，使得对任何向量 围成的有向体积是
。
固定
，行列式 是 的线性函数，按Riesz表示定理，对线性函数 ，存在唯一的 使其写成内积 形式，这个
线性依赖于 。具体来说考虑行列式展开于是就得记
，称为
的叉乘。叉乘的定义可以记作相当于使它变成一个与 点积时把 替换为 的式子（考虑关于 i/j/k
点积相当于取第1/2/3个分量）。
现在说一下这个叉乘的几何直观。叉乘的几何直观就是行列式按行列展开的几何直观，实际上为行列式多重线性的几何直观。行列式为其列向量的重线性函数固定底面，考虑
与
组成平行多面体（在高维这一般叫有序单形）有向体积（即它们的行列式），由于平行六面体
在
终点在平行六面体上表面关于 $(a,b) $类似地将 长度变为它自己的某个实数
倍，即以 代 ，使得有向体积变为原来的
倍。这是行列式重线性的几何直观。
接下来考虑二维行列式为何能表示体积。具体来说，考虑对向量 ，它和y轴上向量 （ 分别是 x,y
轴正半轴的单位向量）围成体积是
，与 围成有向体积是
（因为
），从而 和
围成的有向面积无非是两者之和，我们熟知的 。于是对行列式按最右列展开展开假设
而
，这个实际相当于说 和
围成的有向体积的是 和 围成的有向体积之和，而 围成的有向体积只和 在 yz 平面上的投影有关，因此正是 ，另外两者同理。