Chapter 2.1
一般范畴上的层如此定义：对预层 和开集 的一组开覆盖 ，考虑图表左边的映射是
，右边两个映射分别是 作为 和 往
上限制。如果这个图表对任意 和
的开覆盖，左边映射都是右边的equalizer（或者说是右边双箭头的limit），则
是一个sheaf。具体的比如说对 ， 和 的equalizer无非 ，所以 上截面相当于一组相容的
上截面，即得常见的sheaf定义。
关于direct image sheaf与inverse image sheaf：关于 不是sheaf的例子，考虑取 为单点空间而 不连通（）， 相当于 ，则我们得到了 上常值预层
，但它不是层（在两个连通分支
上各取不同的
，则无法找到一个 同时限制在
上是 ，是也就是同时等于 ） 。而它的层化则是连通分支那么多个份
的乘积（考虑stalk皆为 ，section的定义相当于要求是
的局部常值映射，所以在连通分支上有唯一取值）。
回忆 的section被定义为
满足 且对任意
存在 的邻域 上 是某个 的函数芽，即
。而平展空间被定义为使得 都连续的最强拓扑。考虑到 皆为单射，且如果 和 在某点 处的函数芽相同，按定义它们在
的某个邻域上相同（从而有交意味着在某个开集上相同），所以一组拓扑基正是
，这里
是任意开集。假设
是一个连续截面，如果 非空，相当于在
上
恒成立，于是知U到平展空间的continuous section与 的section是一个东西。
设 是连续映射， 分别是 上的层，记 为 ，至于 关于 的限制映射考虑到定义
的偏序集是定义
的偏序集之子集，从而由colimit的universal property自然给出。类似地 在
中不同预层间的态射也由于colimit的构造，且关于 具有函子性。
只需证明 是 的左伴随，有自然同构证明此事由层化的universal
property自然得到 是 左伴随。先定义自然的映射 和 。事实上对应包含 的偏序集中正包含 ，所以colimit自带了 ；对 则是但对每个 都有 ，所以每个 到 的限制给出了 。
现在给定态射 ，用
作用之后再用
拉回得到 ；类似地，给定
，用
作用后再以 推出得到
。验证它们是互逆的自然变换则大功告成： 由包含 的 构成，
就是这些 到 的一族相容同态，以 作用后只考虑诸 ，而由于 包含 故colimit的cone构造中自带了
，复合起来正是
；反过来 就是
，每个满足 的 都有向 的限制，于是用 作用后以 推出相当于给定 ，所有 的 对应的 给出的
。
简而言之，两者作用分别是对
取出所有colimit构造中带有的
，以及对 关于合适的 对 取colimit，只需注意到对 ， 和
只差一个限制，则立即可知两者互逆。
对开集 ，将
中元素定义为满足以下条件的一族
：
，且（考虑到层在开子集上的限制无需层化显然直接是层）记 则对任意 都有
。 到 的限制将每个 限制为 。现在验证 是层：显然 是预层，而且取 的开覆盖 ，如果 在一切 上限制相同，也就是他们每个
分量在 上限制相同，那么由于
是层所以 的每个分量相同，也就是
，粘合性质的证明也类似不予废话了。还需要证明存在同构 ，但考虑到对 ，
中section就相当于它在
上分量（ 分量由
给出），从而 也立即可得。