Chapter 2.1
一般范畴上的层：对预层 和开集 的一组开覆盖 ，考虑图表左边的映射是
，右边两个映射分别是 作为 和 往
上限制。如果这个图表对任意 和
的开覆盖，左边映射都是右边的equalizer（或者说是右边双箭头的limit），则
是一个sheaf。具体的比如说对 ， 和 的equalizer无非 ，所以 上截面相当于一组相容的
上截面，即得常见的sheaf定义。
关于层化sheafication：一个非层的预层例子是常值预层
，考虑在两个连通分支
上各取不同的
，则无法找到一个 同时限制在
上是 ，是也就是同时等于 。它的层化 则是连通分支那么多个份
的乘积（考虑stalk皆为 ，section的定义相当于要求是
的局部常值映射，所以在连通分支上有唯一取值）。
关于direct image sheaf与inverse image sheaf：关于
不是sheaf的例子，考虑取 为单点空间而 不连通（）， 相当于 ，则我们得到了 上常值预层 ，它不是层。
回忆 的section被定义为
满足 且对任意
存在 的邻域 上 是某个 的函数芽，即
。而平展空间被定义为使得 都连续的最强拓扑。考虑到 皆为单射，且如果 和 在某点 处的函数芽相同，按定义它们在
的某个邻域上相同（从而有交意味着在某个开集上相同），所以一组拓扑基正是
，这里
是任意开集。假设
是一个连续截面，如果 非空，相当于在
上
恒成立，于是知U到平展空间的continuous section与 的section是一个东西。
注：从平展空间定义层的话，比如说
上的sheaf，则需要一个拓扑空间
和底空间
，以及一个局部同胚 ，也就是对任意
，存在 的邻域 ， 是同胚（在由
得到的层 中， 就是 ），而 被定义为 的continuous
section全体。而局部同胚意味着对continuous section ，如果 那么 在 某个更小的邻域上重合。
而对比如取值
的sheaf，则还要求
都有abel群结构，且
上群运算（加法/取逆）连续。要求
上群运算连续相当于要求stalk的运算保持代表元或者
是一个abel群。现在说明一些关于等价的证明细节：群运算连续意味着 关于群运算封闭，从而 是Abel群；反过来若
总是abel群，现证明群运算连续：对加法 ，取一个点 ，，设 ，要证明 在 处连续，则只需证明 任意邻域的原像是 的邻域。而 的任意邻域都包含某个 ， 是 的某个代表元,所以只需证明 的原像都是 的邻域。类似取 的代表元 ，对足够小的 ， 中有 ，从而 在 作用下包含于
，由此知加法连续。取逆的证明并无区别，不再赘述。
设 是连续映射， 分别是 上的层，记 为 ，至于 关于 的限制映射考虑到定义
的偏序集是定义
的偏序集之子集，从而由colimit的universal property自然给出。类似地 在
中不同预层间的态射也由于colimit的构造，且关于 具有函子性。
只需证明 是 的左伴随，有自然同构证明此事由层化的universal
property自然得到 是 左伴随。先定义自然的映射 和 。事实上对应包含 的偏序集中正包含 ，所以colimit自带了 ；对 则是但对每个 都有 ，所以每个 到 的限制给出了 。
现在给定态射 ，用
作用之后再用
拉回得到 ；类似地，给定
，用
作用后再以 推出得到
。验证它们是互逆的自然变换则大功告成： 由包含 的 构成，
就是这些 到 的一族相容同态，以 作用后只考虑诸 ，而由于 包含 故colimit的cone构造中自带了
，复合起来正是
；反过来 就是
，每个满足 的 都有向 的限制，于是用 作用后以 推出相当于给定 ，所有 的 对应的 给出的
。
简而言之，两者作用分别是对
取出所有colimit构造中带有的
，以及对 关于合适的 对 取colimit，只需注意到对 ， 和
只差一个限制，则立即可知两者互逆。
对开集 , 记 , 将
中元素定义为满足以下条件的一族
：
，且（考虑到层在开子集上的限制无需层化显然直接是层）则对任意 都有
. 到 的限制将每个 限制为 , 由于 是层的态射,
所以上面的限制良定义, 且使 成为预层.
现在验证 是层：取
的开覆盖 ，如果 在一切 上限制相同，也就是每个 分量 在 上相同, 由于 是层所以 , 从而 , 粘合性质的证明也类似.
还需要构造同构 , 但考虑到对 ,
中section由它在
上分量确定（ 分量由
给出）, 从而得到了 .
也立即可得。