Chapter 2.2
ringed space非locally ringed的例子：取非局部环 ，定义预层 ，则其层化 是赋 离散拓扑后全部 连续映射，它在任意点处的stalk都是
。
考虑affine scheme时一个重点是忽略
以外形式的开集，绝大多数时间这些开集实际上不大重要，而且 形式的开集作为一组基实际上决定了
。
对 ， 中开集 就相当于 ，而 。
按定义存在
的开覆盖 ，其中 ，而 是
中开集，所以是若干
的并，而 且 ，从而 是scheme。
(a) 如果
reduced，取某个非零函数芽 ，它任何代表元 都非幂零，所以
非幂零；反过来如果 都reduced，那么对 ， 幂零则 在 中的像幂零，从而等于
，按函数芽定义 在 的某个开邻域上限制为零，由于 任意所以 。
注：对scheme ，
未必是层，比如说考虑 ，其中 ，那么 ，考虑
，它在一切 中是
，然而在 中不幂零。
(b) 首先考虑affine scheme的情况，此时 ，因为
， 在一组基 上与层
相同，而 与
有自然的同胚，所以它的层化就是
（考虑层化就是局部截面的
映射，满足层公理则局部截面粘成整体的截面……）。现在对一般的scheme ，存在开覆盖 , ，在 上对
层化的结果是 ，从而 是Scheme。
现在构造
：令 为预层
，则有自然的预层态射 ，与 给出的
复合就给出一个ringed space的态射 （底空间的映射是
态射）。接下来证明它是scheme的态射：考虑它在仿射开集上的限制，如前所述，对某个仿射开集
，在它的主开集 上 已经构成了一个层，所以
，从而这个
态射在 上的限制是 对应的 ，
是这些scheme态射的粘合，从而是scheme的态射。
(c) 由于 reduced,
每个 都可以分解为 ,
按取red的预层定义 给出预层态射,
从而按层化泛性质提升到一个层态射 . 现在证明这是一个locally ringed space的态射,
也就是在stalk上的映射把极大理想拉回到极大理想, 从而得到了一个 映射
(底空间的映射还是 ):
考虑取red和归纳极限交换, 而任何极大理想都包含 , 从而 是scheme态射意味着上述 也是scheme态射.
而取red和归纳极限交换是因为某个 中元素是幂零元当且仅当存在幂零代表元
(否则任意幂次任何代表元非零, 意味着它任意幂次不等于零),
严格来说就是归纳系中 诱导的 的ker正是 的幂零元.
还需说明 复合为 .
事实上考虑层间的态射 , 因为主开集
上 ,
它在主开集上与 相同, 从而这个它与
相同. 同时,
在底空间的映射是 , 所以复合映射与
在底空间的映射也相同, 因此它就是
.
事实上此题结论都任意locally ringed space都对, 也就是对locally ringed
space 和仿射概形 ,
存在自然的双射这个映射就是取global section对应的环同态.
首先证明单性: 考虑 ,
如果它们诱导的 相同, 取 , 设 , stalk间的映射满足交换图其中 的极大理想 被拉回到 , 也就是说 可以被 沿 和
拉回唯一确定, 于是 在底空间的映射相同.
而考虑对应的层间映射 , 在主开集 上 且有交换图唯一确定了 , 从而 .
再证明满性: 给定一个环同态 , 我们据此定义一个态射 . stalk 的极大理想 , 沿着 被拉回为 中素理想 , 我们定义 . 为证明 连续, 只需注意到 即 在 中可逆, 也就是 在 某个开邻域上可逆, 所以如果 , 某个开邻域也包含其中, 所以 是开集.
关于环层之间的映射, 如前所述
中每个点 , 都存在一个开邻域上
可逆, 从而 可逆,
因此可以定义唯一使图表交换的映射具体来说这个映射是
, 从而stalk间映射 (令 ) 为
, 其中
, 而按定义 当且仅当 , 从而
是stalk间的局部映射.
2.4的简单推论.
零环的Spec的空集, global section是零环本身. 而任何它到locally ringed
space的态射 对应一个环层的态射 ,
相当于(空集上的section)环同态 , 因此 自然是locally ringed space范畴中的initial object.
是单点,
相当于(假设 被打到 )环同态 , 它是局部同态所以相当于某个非零的 嵌入.
是单点 . 作为 概形的
由自然嵌入 给出.
相当于对任意非空 都有
, 也就是
都是 -代数且限制映射为 -代数同态.
设 把单点打到 , 是 -代数局部同态 , 局部性即 ,
由此 诱导出嵌入 , 但这是 -代数所以
.
而
等价于 (
被打到 则它的像中元素在平方都是
, 在
中这种元素属于 ).
如果有这样的 则 诱导 -模同态 ; 反过来因为是 -代数且 , 中元素可以唯一写成
形式, , 故
线性映射, 也就是
对偶空间中元素, 都可以延拓至 的 -代数局部同态.
考虑affine
covering ,
在某个不包含于其它 的并的 中, 在 中闭且不可约,
从而形如 . 现在