Chapter 2.2
ringed space非locally ringed的例子：取非局部环 ，定义预层 ，则其层化 是赋 离散拓扑后全部 连续映射，它在任意点处的stalk都是
.
考虑affine scheme时一个重点是忽略
以外形式的开集，绝大多数时间这些开集实际上不大重要，而且 形式的主开集作为一组基实际上决定了
.
关于Prop 2.2, 可以反过来将 作为 定义:
全体主开集
组成 拓扑基, 令 , 则这定义了
上的一个层
只需验证这个定义满足sheaf property. 取 和它的 (有限) 开覆盖 , 由于 , 不妨将
替换为 , 则在 中有 .
假设
在每个 上都是 , 也就是 , 由于 不妨将 替换为 , 则 .
因此这是一个separated sheaf.
现在验证sheaf condition (与2.2b中满射证明无异) : 如果存在一族 , 在
上,
也就是在 中
,
下证存在 , 在每个 中 . 上面的相容性条件相当于
, 而 的条件相当于 . 取充分大的
并以 替换 , 则相容性条件简化为 , 令 , 则 , 再以 替换 得到 . 的条件 (将 替换为 之类的操作) 简化为 .
取 ,
现在相容性条件为 , 而
的条件为 . 如果 存在则 . 令 , 则 ,
由此满足上述条件的 存在性得证.
对 ， 中开集 就相当于 ，而 。
按定义存在
的开覆盖 ，其中 ，而 是
中开集，所以是若干
的并，而 且 ，从而 是scheme。
(a) 如果
reduced，取某个非零函数芽 ，它任何代表元 都非幂零，所以
非幂零；反过来如果 都reduced，那么对 ， 幂零则 在 中的像幂零，从而等于
，按函数芽定义 在 的某个开邻域上限制为零，由于 任意所以 。
注：对scheme ，
未必是层，比如说考虑 ，其中 ，那么 ，考虑
，它在一切 中是
，然而在 中不幂零。
(b) 首先考虑affine scheme的情况，此时 ，因为
， 在一组基 上与层
相同，而 与
有自然的同胚，所以它的层化就是
（考虑层化就是局部截面的
映射，满足层公理则局部截面粘成整体的截面……）。现在对一般的scheme ，存在开覆盖 , ，在 上对
层化的结果是 ，从而 是Scheme。
现在构造
：令 为预层
，则有自然的预层态射 ，与 给出的
复合就给出一个ringed space的态射 （底空间的映射是
态射）。接下来证明它是scheme的态射：考虑它在仿射开集上的限制，如前所述，对某个仿射开集
，在它的主开集 上 已经构成了一个层，所以
，从而这个
态射在 上的限制是 对应的 ，
是这些scheme态射的粘合，从而是scheme的态射。
(c) 由于 reduced,
每个 都可以分解为 ,
按取red的预层定义 给出预层态射,
从而按层化泛性质提升到一个层态射 . 现在证明这是一个locally ringed space的态射,
也就是在stalk上的映射把极大理想拉回到极大理想, 从而得到了一个 映射
(底空间的映射还是 ):
考虑取red和归纳极限交换, 而任何极大理想都包含 , 从而 是scheme态射意味着上述 也是scheme态射.
而取red和归纳极限交换是因为某个 中元素是幂零元当且仅当存在幂零代表元
(否则任意幂次任何代表元非零, 意味着它任意幂次不等于零),
严格来说就是归纳系中 诱导的 的ker正是 的幂零元.
还需说明 复合为 .
事实上考虑层间的态射 , 因为主开集
上 ,
它在主开集上与 相同, 从而这个它与
相同. 同时,
在底空间的映射是 , 所以复合映射与
在底空间的映射也相同, 因此它就是
.
事实上此题结论都任意locally ringed space都对, 也就是对locally ringed
space 和仿射概形 ,
存在自然的双射这个映射就是取global section对应的环同态.
首先证明单性: 考虑 ,
如果它们诱导的 相同, 取 , 设 , stalk间的映射满足交换图其中 的极大理想 被拉回到 , 也就是说 可以被 沿 和
拉回唯一确定, 于是 在底空间的映射相同.
而考虑对应的层间映射 , 在主开集 上 且有交换图唯一确定了 , 从而 .
再证明满性: 给定一个环同态 , 我们据此定义一个态射 . stalk 的极大理想 , 沿着 被拉回为 中素理想 (也就是 ), 我们定义
. 为证明 连续, 只需注意到 即 在 中可逆, 也就是 在 某个开邻域上可逆, 所以如果 , 某个开邻域也包含其中, 所以 是开集.
关于环层之间的映射, 如前所述
中每个点 , 都存在一个开邻域上
可逆, 从而 可逆,
因此可以定义唯一使图表交换的映射具体来说这个映射是
(因此stalk间映射为 ) 令 , 按 定义 被打到 中, 从而 是stalk间的局部映射.
2.4的简单推论.
零环的Spec的空集, global section是零环本身. 而任何它到locally ringed
space的态射 对应一个环层的态射 ,
相当于(空集上的section)环同态 , 因此 自然是locally ringed space范畴中的initial object.
是单点,
相当于(假设 被打到 )环同态 , 它是局部同态所以相当于某个非零的 嵌入.
是单点 . 作为 概形的
由自然嵌入 给出.
相当于对任意非空 都有
, 也就是
都是 -代数且限制映射为 -代数同态.
设 把单点打到 , 是 -代数局部同态 , 局部性即 ,
由此 诱导出嵌入 , 但这是 -代数所以
.
而
等价于 (
被打到 则它的像中元素在平方都是
, 在
中这种元素属于 ).
如果有这样的 则 诱导 -模同态 ; 反过来因为是 -代数且 , 中元素可以唯一写成
形式, , 故
线性映射, 也就是
对偶空间中元素, 都可以延拓至 的 -代数局部同态.
考虑affine
covering , 非空的
在 中闭且不可约 (否则 是 中两个真闭子集和 的并...), 从而形如 . 而 , 是 中开集从而稠密, 意味着 .
同时由于Spec是 空间,
也是 空间,
即任何两点中两点之一的某个邻域不包含另一个点, 中不同元素的闭包不同, 所以generic
point唯一.
对非零的
, 对应一个素理想 , 其residue
field就是 . 而具有给定剩余域 点的数量, 就是 上 次不可约首一多项式的数量. 中元素都是可分多项式
的根, 且对任何 里的元素 , ,
同时 当且仅当 , 所以 恰好是所有 上次数整除 的首一不可约多项式乘积. 假设 表示 上 次不可约多项式数量, 则 , Mobius反演得到
(a) 定义.
(b) 从而是开集. 令
, 则 , 从而
是连续映射. 取
中一组开集基 , 则
诱导出 同态 (由于 保持分次所以它良定义) . 由于
限制在仿射开集 上是
诱导出的仿射概形morphism, 由此粘合为scheme morphism .
考虑到 , 于是 等于 中 部分的radical. 被高次部分所唯一确定, 于是
是单射, 且如果 , 则
, 所以 . 为证明 是同构, 只需证明 是仿射开集上同构粘合起来. 虽然 不是同构, 但是 诱导的 是同构
(显然这是满射, 至于单射考虑若 , 则 , 从而 , ) , 从而诱导仿射概形 的同构.
在每一个 上是同构, 从而 是同构.
对 中开集 , 中截面的定义为局部为
中相同次数的齐次元素之商, 在
与 自然的底空间同胚下与
上环层的定义完全相同, 从而有自然的同构 .
(a) 对 , 就是局部化 , 即 或者说 . 在每个仿射开集上开, 所以是 中开集.
拟紧从而存在有限仿射覆盖
, 在每个仿射开集上 在 上为 , 也就是存在 , . 取 , 则 在每个 上为零从而等于零.
在 上具有 形式, 其中 ,
因为 有限, 存在 , 在 上是某个
的限制. 令 , 则 在 上为零, 由b问存在 , . 由此, 取充分大的 , 在 上是某个
的限制, 且 上 , 将诸 粘合为 , 则 是 在 上的限制.
考虑限制映射 ,
在每个 上可逆从而在
上可逆, 因此诱导出映射 .
由c问这是满射, 由b问 (注意到b只用到了存在有限仿射开覆盖, 无需拟紧)
的ker等于 的ker,
因此这是单射.
(a) 考虑
做为 和 的morphism, 在 上限制相同, 事实上对 中开集 , 限制得到的两个
都是 的逆, 从而相同. 因此可以粘合得到一个全局的
. 是 morphism, 并且在每个 上是 , 从而 , 同理 .
- 同时由Ex.2.4, 给出 的morphism
, 它将 打到 在 下的原像, 由此 , 而
的section间的环同态就是Ex.2.16d中定义的
, 从而 在 上限制是
同构, 而诸 生成单位理想相当于说
, 由a问 是同构, 是仿射概形.