(a) , 从而 是素理想从而radical, . (b) . (c)
考虑对一个仿射变换(线性变换+平移)
, 作用于代数集 得到 仍然是多项式,
且对应多项式环
( 指 自然地作用于变元,
将变元变为原来变元的线性组合), 故可逆仿射变换在同构意义上不改变坐标环.
而对二次曲线
, 如果二次式部分是完全平方式, 则仿射变换 ,
下(因为不可约所以是可逆仿射变换, 否则可以变形为 的二次多项式, 因为 代数闭所以可约)会具有 标准型;
同时如果二次式部分不是完全平方式, 先变成 形式, 再仿射变换则可变成
标准型, 考虑 则可变为 形式.
, 由 知
是素理想(从而radical), 从而 是
不可约代数集且 .
, 而 , 且 . 于是 (考虑这三个代数集对应的坐标环易知其不可约).
考虑 中对角线 , 因为
非Hausdorff所以对角线在乘积拓扑下不闭 (如果对角线闭则对 , 存在包含 的开集 与对角线不交, 也就是 ,
即证Hausdorff).
不可约空间中任意两个开集都有交.
不可约等于 中任意开集在 中闭包是 , 等于在 中闭包是 , 即为 不可约.
因为空集没有不可约分支, 只需讨论 的情况. 假设 , , 则 对应 ,
它的不可约分支对应包含
和 的极小素理想, 也对应 中包含
的极小素理想. 由于 非空且 , 所以 在 中非零非可逆元, 而 是整环故由1.11A, 中包含 的极小素理想具有高度 , 由 1.8A(b) 即 的不可约分支具有维数 .
的不可约分支
(因为不可约集闭包也不可约所以不可约分支是闭集) 对应包含 的极小素理想, 的不可约闭子集对应包含
的素理想. 假设 , 取包含
的极小素理想 , 对 归纳证明 ,
从而由1.8A(b) : 由归纳假设, 在商环 中, 包含
的极小素理想高度至多为 ,
且由1.11A, 包含
的极小素理想高度至多为 , 从而包含
的极小素理想长度至多为
.
(a)
只需证明任何
中的不可约闭集严格升链可以提升到
中的不可约闭集严格升链. 事实上对
中的如此升链 , 都是 中的不可约闭集 (Ex.1.6) , 且因为 是 中闭集所以 , 故 ,
所以 是 中不可约闭集的严格升链.
由(a)只需证明 . 考虑
中不可约闭集的严格升链 和开集 , 如果 非空, 因为它是 中非空开集所以 , 从而由 得到 ; 此外, 因为
开, 中开集也是 中开集, 在 中稠密从而在 中稠密, 所以 不可约, 且是 中闭集. 因此对 非空的 (这样的 一定存在), 是 中不可约闭集升链.
考虑 ,
唯一非平凡开集 .
事实上这个例子对应DVR的Spec,
是DVR时 , 唯一的非平凡开集是 .
考虑在
上定义拓扑, 其中非空真子闭集具有 形式,
则容易验证这定义了一个诺特拓扑空间 (闭集降链稳定) ,
且其中任何闭集都不可约,
从而有无限长不可约闭集严格升链于是无穷维.
考虑到 和 , 按是否有某个分量为 分类讨论, 则 ,
具体来说如果这三个式子同时成立, 则如果 有一者为 则全为 , 如果全不为 , 令
则后两个式子相当于
...... (PS 这三个元素都不能去掉,
去掉第3/1/2个生成元会导致多出来x/y/z轴)
显然 的分式域在 上具有 , 从而 即 . 下证 非二元生成: 注意到 , 且 , 三者
-线性无关, 从而 作为 -线性空间 , 从而 作为理想生成元至少三个.
考虑 , 故在 上不可约, 而 可约.