通过 中点与 中过原点直线的对应,
可以理解为 中 的代数集,
从而命题只是Hilbert零点定理的立即推论.
(ii)(i): 定义. (i)(ii): 上一题的立即推论.
(iii)(ii): 若 , 则 , 即 , 而 为极大理想, 所以 是 或 .
对闭集 ,,, 等价于 ,
不可约等于 此时包含于 之一, 等于 , 之一包含于 . 又从定义自然有 , 所以 等价于 .由此即知 不可约等价于 是素理想.
(a) 中闭集严格降链对应于 中齐次根理想严格升链, 后者是诺特环. (b)
取
中极小的不可被写成不可约闭集有限并的闭集 , 则 本身可约, 从而可约表示为 真闭子集的有限并,
按假设后者都是不可约闭集的有限并, 从而矛盾.
设 的affine covering是 , 到 的同胚 把 打到 , 其中不出现 . 假设 是射影簇, 是 中开集, 其中开集是 中开集, 于是由于 不可约任何两个 中开集有交即 不可约, 所以 是affine variety. 是齐次理想 的商环从而是分次环.
在此同胚下, 一个
上的多项式函数
可以被视作 , 由于 不可约, 在 中稠密, 所以 在 上为 当且仅当它的齐次化 在 上为 . 因此, 是 单射, 它的image为
中全部 元素. 现证明 : , 在 中 , 而 已经等同于 中零次元素, 所以
.
考虑维数, 由
和1.7, 且
, 而由于1.8A和
是整环,
.
(a)
由上一题结论, . (b) 考虑affine covering , 是 中的不可约仿射簇, 且如果 , 由于它是
在 中闭包, 有 . 此时由1.10,
. 由Ex.1.10b, 对上式取上确界得到 .
由Ex.2.6,
则 , 从而 , 由1.12A, , 其中 不可约 (且因为 是齐次理想, 齐次). 反过来, 如果 , 则同样由2.6, .
(a)
直接来自于齐次理想 的定义. (b)
. ,
假设齐次坐标是 , 则 (关于
局部化),
事实上在理想中这三个约束下
不全为 , 分类讨论: 之一为 时 , 分别对应点 和 ; 都不为零时, 前两个约束相当于 ,
事实上确定了这个点 . 如果仅对
中生成元齐次化, 则会得到 , 对应在 时为 中twisted cubic; 在 时为 , 均非零所以也是正常twisted cubic
(此时是去掉了零点的twisted cubic); 而在 时, 约束为 , 从而 即 (此时约束相当于 且 ), 比起twisted cubic ( 部分) 多出来了无穷远处的三重直线
. 因此对 的生成元直接齐次化未必是 .
(a) 设 , 则对任意
, 恒成立,
而代数闭域是无限域, 所以 ,
从而 . 因此 是齐次理想, 而对一个齐次多项式,
它属于 就等价于它属于 , 由此 而 是仿射代数集. (b) Ex.2.4b (c) 设
是proj variety, 则 .
对一般情况, 由于irr集和素理想的对偶, 的irr component 对应的 正是 的irr component, 取上确界即知 .
(a) (b) 考虑
商去 条线性约束, 将线性多项式中诸 对应系数看作 中元素 , 不妨设
线性无关, 扩充为 一组基 , 则 , 因此
的维数大于等于 , 由Ex.2.6,
. (c) 是 的 维线性子空间, 而 , 从而 是维数大于等于 的线性子空间, 因此 非空且是linear variety.
- 另证: 由于这是linear variety, 和上一问一样的技术可约说明 是素理想, 从而 且 , 从而
, 即 非空 (Hartshorne要求不可约集非空,
所以空集维数无定义...). 前已证明此时 也由线性多项式生成, 且是素理想, 因此 非空时它是linear variety.