源于观测某个具体代数曲线时的突发奇想
这个证明改编自一个经典的HC定理证法, 即代数闭域上任何矩阵 都可上三角化, 也等于存在子空间滤链
,
皆为 -不变子空间, 而每个 上 都是常数 , 对应特征值 , 从而 ,
因此特征多项式代入 为 .
(Hamilton-Cayley) 假设
是交换环, 是有限生成 -模, 是线性变换, 将其视作一个
矩阵 (不唯一), 则存在一个 的扩环 , 其上 相似于上三角矩阵, 从而特征多项式
是 的化零多项式
令 , 令 , 是整环, 可以嵌入某个域, 所以取 上 特征多项式的分裂域, 则在 上 相似于上三角矩阵. 而 是平坦 -模, 是 局部化从而是平坦
-模, 而 是 有限扩域所以是平坦
-模,
由平坦模的传递性, 是平坦 -模.
假设 , 取
的矩阵 , 下面证明在
的某个扩环上, 可上三角化: 由于只考虑矩阵, 不妨设
是秩为 的自由模. 考虑把 打到 的 同态, 使得 成为 -代数. 现在假设 有一组基 , 取 的矩阵 , 则 是 在基 下的矩阵. 现证明在 中,
作为 -模同态,
可以上三角化:
在 中, , 故
假设在 中, 在基 下是上三角矩阵, 如果 (这里 是 标准基) , 则照搬来的 也是 一组基. 设
, 则由此
相似于上三角化矩阵 .
上三角化意味着有子模链 , 都是循环模, 从而 零化 , 即把 打到 , 因此 作为 -模线性变换的特征多项式 (也是 的特征多项式) 零化 , 从而零化 . 而 可以嵌入 , -模 上线性变换 的特征多项式, 在 中零化 , 所以这个特征多项式在 中也零化 , 从而零化算子 本身.
事实上从上面过程里, 我们也可以直接从这个模的滤链来定义特征多项式.
而且这个过程应该可以推广到任意scheme和vector bundle上, 即对scheme 和 上rk 的vector bundle , 构造scheme 以及 , 然后建立一个滤链使得每层 都是line
bundle...有空再更.
附一个具体例子: 考虑
的坐标环 ,
以及其极大理想 -模 . 参数化来讲 , . 令 为乘以 的线性映射, 在生成元 下它的矩阵是 , 对应的扩环是
, 相当于把
的尖点去掉然后拉平为去掉原点的直线. 此时考虑自由模 ,
取出的特征向量是 , , 而 , 于是在
下的矩阵为 .
关于一个Nakayama引理的应用:
对不可约多项式 ,
曲线 上点 是simple point (重数为1) 当且仅当 是DVR
经过适当仿射变换, 不妨设
. 按定义, 是simple point相当于
, 不全是 . 不妨设 , 即 不是切线, 那么对 极大理想 (小写字母 表示 在 中的image) , , 后者商去的是
, 则因为 非零, 是局部环, 所以 可逆, 而 ,
因此 .
证明
这一步实际上是Nakayama定理细节的展开, 就是想证明 , 那么只需观察额外商掉了
之后它变成什么, 或者几何地讲,
本来 是 点处关于 "无穷小"函数的局部函数环,
想证明它是dvr就要说明实际上这里并没有 " 方向" 的无穷小. 而 中含有 , 从而商去 后 , 从而
,
商去 知
, 而 在Jacobson根中,
应用Nakayama引理即知 .
考虑代数闭域 以及 , 线性变换 , 把 带有 视作 -模 , 则
由PID上有限生成模的结构定理, ,
其中 , 是 的极小多项式 . 首先极小多项式零化 , 但在 处的局部化可逆, 故
. 对非零理想 , 的局部化为零, 当且仅当 , 即 不是 的特征值.