Notes on Commutative Algebra 6

Reading: Section 3.1
Exercises: 3.1, 3.2, 3.14

我们想在一般的模上找到一些模，拥有比较接近有限长度的性质，从现在开始我们考虑诺特环上的有限生成模。比如说 ，则 取有限生成Abel群，我们知道 都可以被写成这里某种意义上的基本组成是 和 ，虽然并非单模但都是 商素理想。首此启发，我们考虑能否如此分解 ，使得有子模的链其中 都同构于某个 。

若 是诺特模，则存在某个素理想 ，使 同构于 的子模

取极大的使得存在 的某个子模同构于 的理想 ，而 同构于 的子模等于说 是某个 ， 。现在证明 是素理想：假若不然，存在 且 ，考虑 ，则 包含 和 ，而 意味着 ，从而 ，与 极大矛盾。

对诺特环 上的有限生成模 ，存在子模的链其中 都同构于某个

取 的子模 ，取 同构于某个 的子模，则在 中的原像 满足 ，如此取出一系列 ……由于 诺特，所以取出来的升链稳定。

我们现在想像合成列一样定义 在有限长度的 中出现的次数，并且也希望它在正合列上具有加性。

比如说直观上在 中，我们希望 和 出现的次数都是 。现在考虑则 的次数在 上为 ，在 上为 ，从而这样的次数并不具有加性。如果我们修改定义比如说作为商出现的情况也计入，那上面正合列的核是 ，所以 会在 中出现任意多次。

但有一些情况是可以定义次数的，比如说 在 中出现的次数，就可以直接定义为 ，此时如果 同构于 直和某些有限群，则 出现的次数自然是 ，显然这是加性的。这其实就是所谓有限生成群的秩。

是 的链中 在 中出现的次数。