考虑准素分解
， 即
，而 中已经证明
的不可约分支就是极小素理想对应的
（其实无非Zariski拓扑定义），欲证之结论无非 的重述。
则 。
考虑到 而即知这是一个reduced的极小准素分解， 与 isolated而 embedded。
用Urysohn很容易证明如果 是 中的素理想，则
有唯一公共零点（也就是包含于唯一的极大理想 ，极大理想皆形如
（或者是公共零点存在）由compact保证，而 与
两两不同（也就是公共零点唯一）由Urysohn保证），从而任何 中准素理想有唯一公共零点。现在由于
无穷，如果
有准素分解，也就是可以写作有限多准素理想的交，，那么取一个不是任何 公共零点的 ，每个 中取 ，那么
，然而 矛盾。
(i) 显然。
(ii) 是整环。
(iii) 在 中
，则如果 非零，按 第三问知存在 使得 ， ，于是按 准素性 的每个分量 都有一个幂次属于 （也就是
），再由同一道题第二问知
接幂零推出 幂零，即得证
准素性。
(iv) 由
第二问，考虑
知
。
(v) 假设素理想 ，则 ，然而 是 的极小素理想，从而 ，但 。
显然是素理想。假设 ，如果 皆非零则必须都属于 （否则取 中不只含
的项中字典序最大的两个乘积），从而由于 ，如果 都不属于
，也就是次数最小项次数小于 ，那么
都必须常数项为零，也就是属于
，因此 准素。
如果 是零因子则显然 ，反过来，假设对某个 有 ，在
中考虑则只需证明极小素理想元素皆零因子，从而存在某个 ， 零化 。如果 是极小素理想，则 在 中的扩张正是 （因为是唯一素理想），其中元素皆在
中幂零，也就是对
，存在存在 使 ，取极小的 则 被 零化，从而是零因子。
在 中，考虑到 即可。
假若 有准素分解，取 ， 是包含某个
的极小素理想，$(0)=_{i=1}n _i $ ，则
，于是由 知 ，由极小性 。
(i) 中元素被
中元素零化，按素理想定义一定属于 。
(ii) : 如果 是极小素理想，则 在 中的扩张正是 （因为是唯一素理想），其中元素皆在
中幂零，也就是对
，存在存在 使 ，由是 。: 如果
，则任意 中元素在
中的像幂零，于是知
中
是nilradical从而是唯一素理想，因此 为 的极小素理想。
(iii)
意味着 被某个
中元素零化，从而 。
(iv) 如果 ，考虑包含 的极小素理想 ， 中元素均不零化 ，从而 。