Reading: Section 3.1
Exercises: 3.1, 3.2, 3.14
我们想在一般的模上找到一些模，拥有比较接近有限长度的性质，从现在开始我们考虑诺特环上的有限生成模。比如说
，则 取有限生成Abel群，我们知道 都可以被写成这里某种意义上的基本组成是 和 ，虽然并非单模但都是
商素理想。首此启发，我们考虑能否如此分解 ，使得有子模的链其中
都同构于某个 。
若
是诺特模，则存在某个素理想
，使 同构于 的子模
取极大的使得存在
的某个子模同构于
的理想 ，而 同构于 的子模等于说 是某个 ， 。现在证明 是素理想：假若不然，存在
且 ，考虑 ，则
包含
和 ，而 意味着 ，从而 ，与
极大矛盾。
对诺特环 上的有限生成模 ，存在子模的链其中
都同构于某个
取 的子模 ，取 同构于某个 的子模，则在 中的原像 满足
，如此取出一系列 ……由于 诺特，所以取出来的升链稳定。
我们现在想像合成列一样定义 在有限长度的
中出现的次数。它应当在正合列上具有加性。
比如说直观上在 中，我们希望 和 出现的次数都是
。现在考虑则 的次数在 上为 ，在 上为
，从而这样的次数并不具有加性。如果我们修改定义比如说出现在商里也算出现，那上面正合列的核是
，所以 会在 中出现任意多次。
但对一些特殊情况我们可以定义符合上述性质的次数。比如说 在 中出现的次数，就可以直接定义为 ，此时如果 同构于 直和某些有限群，则
，显然这是加性的。这其实就是所谓有限生成群的秩。当然， 就不具有加性，因为
不正合。
综上，我们说明了对
在某个有限生成Abel群中的次数，如果 则可定义一个对应加性的次数，如果
则不具有加性（甚至无法良定义一个“次数”）。不过任意的 对有限群都具有加性。
接下来还可以有一些更神秘的例子。比如说考虑 而 ， 在图中是蓝色部分，橙色部分是一个同构于
的子模，商模则是绿色部分
下边的两张图都对应了两个正合列，从而也是两个子模包含链
，考虑左边的图可知 并没有在
中出现，考虑右边的图则知 并没有在 中出现，所以事实上只有 在 中出现，然而我们无法只用 构建 （也就是不存在正合列 ）。
定义
为所有作为某个
中元素零化子的素理想，也就是所有使得 同构于 某个子模的素理想 组成的集合。
直观上来讲 是“一定”出现在 中的
对应素理想的集合。由1.1，如果
非零且诺特，则 非空。
就前面提到的几个例子， ， ，
。
对正合列
，
事实上对 ，如果
，那么意味着
可以嵌入 ，
；如果 ，由于 是整环，其中任何非零元的
，所以 中任何非零元素零化子皆为 ，特别的，取非零的 则 。
对一般正合列 ， ， 就是反例。
对诺特模 ， 是有限集
1.1中给出子模升链其中 都同构于某个 ，从而 ，而 包含于它们的并。
对子模升链其中 都同构于某个 ， 中每个素理想都在诸
中出现
Reading: Section 3.2
Exercises: 3.16, 3.17, 3.20