考虑将 分解为 和
，由于Going-up所以
是闭映射（也就是 中素理想都是
形式），由于 满所以 是闭映射（对包含 的 ， 是 中素理想，从而由于 ，
）。
在 上整，则对 ，假设其中诸 ，则也就是 在 上整。
考虑 的子环 ， ， ，如果 在 上整，则存在 使得从而得到由于
所以 即 ，从而考虑上式在 处取值即得矛盾。
(i) 向上乘以
得到
(ii) 按5.8与5.10，由于
中极大理想的收缩皆极大且
中极大理想都是
中极大理想的收缩，故显然
的Jacobson根就是
Jacobson根的收缩。
另证：对 中Jacobson根 ， ，对一切 ， 在 中可逆，从而在 中可逆，故 Jacobson根的收缩包含于 的Jacobson根。
假设
，取首一多项式 使 ，则 给出 满足的首一多项式。
假设 ，诸 且 ，则 意味着
或 之一属于 ，如此归纳下去便知 。
(ii)
由分裂域相同构造可以找到扩环，使得 分裂为线性因子，而这些根满足 从而在 上整，因而 的系数都在 上整，但 在 中整闭，从而属于 。
假设 在 上整，从而在 上整，也就是满足假设
，考虑最高次项系数知 在 （或者 ）上整从而属于 ，、 与 皆在 上整，从而 在 上整，由此重复降次知 。同样，由于 和 都在 上整，从而 中任何元素都在 上整。
另证：按上一题结论有 。