Elena's Blog

Artin模

Reading: Section 2.4
Exercises: 2.23
Classify the modules of finite length over k[x]. Find an Artinian module over this ring that is not Noetherian.

一切只有有限多元素的模都既Noether又Artin；有限生成的线性空间既Noether又Artin。

Noether但不Artin，考虑 ； Noether但不Artin

作为 -模既不Noether也不Artin

Artin但不Noether，事实上注意到它是 ，从而有包含升链 ，而由于这些子模给出它全部真子模，所以它Artin。它被称作 的injective envelope（也是所谓的Prüfer p-群），某种意义上是 的对偶。

任何PID商去某个非零理想都同时是Noether环和Artin环；作为非交换的例子，矩阵环 和有限群的群环 都既Noether又Artin，事实上任何是有限维 -线性空间的 -代数都既Noether又Artin，因为它们的理想都是子空间。

单模是非零的，子模只有 和它自己的模

环 上的单模有且仅有 ， 是 的极大理想

对模 ，称它的一个合成列是子模的链且每个 皆为单模，如果 有合成列则称 有有限的长度

有限维线性空间都有有限长度， 都有有限长度

长度有限当且仅当 既Noether又Artin

假设 长度有限。首先单模既Noether又Artin，而我们知道如果有正合列如果 Noether则 Noether，如果 Artin则 Artin，那么考虑一系列正合列即可证明 既Noether又Artin。

反过来，可以不断选取 和 作为极小的真包含 的子模，这样取出来的升链一定稳定。

下面这个定理属于带算子的群上Jordan-Holder定理在关于模的情形：

如果 长度有限，则 的合成列都有相同的长度，且每个单模在合成列中出现的次数与合成列的选取无关

取两个合成列 和 ，画成下图中的样子其中 列 行处是 。考虑这里面每一个小方块的包含关系， 是 的子模，要么就是 要么是 ，而竖向的商同理，从而如果左下不等于右上，则小方块里要么四个商都非零，横向两个商相等且竖向两个商相等，要么两个是 两个不是（并且只能是左下两个商是 ，考虑到 是 的子模）且右上两个商相等现在考虑按图中最右上和最左下两个路线得到的合成列就是 和 ，而我们可以一个小方块一个小方块地把右上一路换到左下，这个过程每一步都不影响合成列中某个单模出现的数量。

假设有正合列 ，如果 长度有限，则 长度有限，且长度等于 与 的长度之和

Artin环

Reading: Section 2.4
Exercises: 2.6, 2.22 (this one is a bit tricky)

某种意义上Artin环是有限维线性空间的推广。

下列条件等价：
(i) 诺特且 是极大理想的乘积
(ii) 诺特且素理想皆极大（也就是 零维）
(iii) 长度有限
(iv) 是Artin环

(i)(ii)： ，于是某个 包含于
(ii)(iii)：假设 长度不有限，取极大的使 长度不有限的理想 ，先证明 素理想。记 ，假若 中 且 非零，则 长度有限，且乘 自然给出满射 ，由于满射所以 也长度有限，从而由正合列知 长度有限，矛盾，故 之一为零，即 素理想，从而 是极大理想， 是单模，矛盾。
(iii)(iv)：已经证明。
(iv)(i)：首先证明 是极大理想的乘积。取极大理想的所有乘积中极小的 ，则 对任意极大理想 成立，从而由于 是极大理想的乘积， 。如果 ，则可以取极小的使 的 ，那么对某个 ， ，于是按 极小性 。同时 给出 ，从而 对某个 ，也就是 。而 包含于一切极大理想中（否则 于是 真包含于 ），故 不在任何极大理想中从而可逆， ，矛盾，于是知 。

现在证明 诺特。设 ，考虑这里每个 都是 -线性空间，且由Artin条件有限维，从而作为 -模长度有限。每个因子都长度有限意味着 长度有限，从而诺特。

注： 一般不同构于 ，事实上一般前者维数大于1，比如说考虑 ， ， ，则 是一维 -线性空间，而 二维（有基 ）。

Artin环只有有限多极大理想，且是Artin局部环的乘积

考虑 ，按中国剩余定理 而 有唯一的素理想。

Artin环的素谱是有限集的离散拓扑，极大理想给出其中的所有点

注：若诺特环的 是有限集的离散拓扑，则可以证明它Artin（显然素理想皆极大），如果没有诺特的条件则不然

考虑环 ，它有唯一的素理想 （因为 从而 ），但它不诺特（从而不Artin）。

Artin环皆长度有限，所以可以按照长度来分类。长度 的Artin环只有零环，长度 的Artin环都是域。长度 时情况开始变得有趣，令 ，

Reading: Section 2.4
Exercises: 2.24
Try to classify Artinian rings of length 3 or 4 over a field. (You do not need to succeed: the point is that you see how complicated this is.)

局部化的定义

直观上， 关于子集 的局部化 就是使 中元素在 中可逆，由此出发最直接的定义是 ，其中 遍历 。这种定义可以自然地用泛性质表达：

环 关于乘性子集 的局部化为满足如下泛性质的环 ：任意交换环的同态 若满足 , 则存在唯一的环同态 使下图交换.

这种形式上取逆的做法事实上比较非构造性，让我们对 的大小失去了控制，比如我们难以直接知道哪些 中元素会在自然映射 下变成 。如果对 ，存在 使 ，那么 会被打到 ，事实上自然映射 的核由被某个 作用得 的 组成。

直接考虑将 构造出来，仿照熟悉的分式环就是对 商去 当且仅当 ，但这样证明传递性时，如果 ，而 ，则 ，需要 非零因子才可以有消去律。这样 不含零因子时可以定义 ，如果 是 中一切非零因子的集合，则 称为 的全商环（total quotient ring），它是 最大的使 仍然是其子环的局部化。

的全商环是

更进一步的，对于 有零因子的情形，令 ，则 在 中的像无零因子，从而可以有局部化 （注意 并不一定单射）

满足 关于 局部化的泛性质，从而

于是 中元素皆有 形式， 当且仅当 对某个 ，一般来说 当且仅当存在某个 使得 ，这就是一般局部化构造性的定义。

令 ， ，则

令 为 中素理想， ，则 是乘性子集， 记作 ，称为 在 处的局部化。

； 是一切在 处有定义的有理函数。

Reading: Section 2.1
Exercises: 2.1, 2.7

局部化的

如果 是 的理想， 是自然的映射，则 （这里 表示理想的收缩 ， 表示理想的扩张 ），于是 是单射

注意到若 ， ，则 ，从而 ， 。

如果 诺特，则 诺特

可以被嵌入

某种意义上可以将 中元素看作函数，作为 中余维数为 的“点”，其零点就是 ，其中 ，那么自然 就是 中去除这些点事实上

同构于 中与 不交的素理想组成的子空间

首先 中理想的收缩一定与 不交。反过来如果 是 中与 不交的素理想，则只需证明 ，而注意到因为素理想而且与 不交， 之后一切显然。

如果 有限生成，则 是 的开子集

一般来说 是无穷多开集的交，并非开集，但实际和开集的行为会比较像。

中素理想有 、 （ 不可约）、 三类，它的素谱在上一章3.10已经有过可视化。关于 处局部化 的 中只有一般点 ，而 则是 对应“一维点”加上一般点，至于 则是点 加上过这点的曲线和一般点注意素理想局部化的素谱和商环的素谱大相径庭，譬如说 的素谱就是 ， 则是 曲线带上其上的这些红点， 就是单点。总体来说，一般直观上商环 的素谱是 以及 “内部”的所有点，而局部化 则是 和在 附近外部的点，在这种意义上商和局部化是相反的操作。

一般来讲， ，把 变成最小的理想，素谱的一般点。而 ，把 变成最大的理想，变成素谱中唯一的闭点。

考虑 在 处的局部化，它的素谱中有三个点

Reading: Section 2.1
Exercises: 2.10

上的函数

对紧Hausdorff空间 ，我们熟知 ，而 这元素皆为 上的函数，于是也就是 上的函数。类似地对一般的环 ，也有类似的将 视作 上函数的观点。

中极大理想形如 ， 中函数在 处取值于实数，也就是 。对一般的环，则 在 处的取值应在 中。

取 ，则非零理想都形如 ， 处的取值就是

取 ， 就具有如下函数图像

但这种函数化会出现一个问题，就是 到函数的映射并不一定是单射。事实上如果 对应的函数是 ，也就是 属于一切 ，也就是 （由上节引理5.6，对任何乘性子集 ，如果 与理想 不交，则存在素理想 与 不交，然后取 ）。

事实上我们有更好的方法来表示出这样的函数，具体来说是使 在 处在局部化环 中取值。注意到 在 中的像是 当且仅当存在 ， ，于是 对应的函数是 的当且仅当存在可逆元杀掉 ，也就是 。现在 对应的函数在 处取值于 ，有时也可以进一步考虑 （如果没用幂零元？），不过一般还是考虑局部环

对开集 ，令 表示 上全体连续函数组成集合，则它具有以下性质：
(i)：如果 ，则有函子性（也就是保持自然含入映射的复合，但是反向）的限制映射
(ii)（预层性质）：如果 ， 在一切 上的限制是 ，则
(iii)（层性质）： 如果 ，有一族连续函数 且 在 上的限制相同，则存在 ， 在 上的限制是

我们希望对任意的环 定义 。事实证明在处理具体问题时，几乎所有问题中我们都只需要考虑 ，所以实际上我们只需要考虑这些基本开集。

直观上来说， 中 的“零点” 是一个超曲面，于是 就是余维数 的集合（直观上讲就是 不为零的点之集合），而对在 上的“好函数”，首先 中的函数都一定可以，其次因为 在 上“不消失”，所以 也行，于是遂把 定义为

Exercise: 2.6
Exercises: Suppose R is the ring of continuous real functions on the circle. Is the natural map from R to the localization at a maximal ideal injective? What if R is the ring of smooth functions on the circle? What if R is the ring of analytic functions on the circle?

仿射概形

某种意义上仿射概形的观点在于将 看作 上的函数环。在此前我们给每个 定义了一个环 ，现在我们来说明这种定义确实使 "表现得和 上函数环一样"，也就是它满足限制性质、预层性质和层性质。

具体来说 (1) 对含入映射（对应函数的限制） 有自然的映射 ，并且显然满足函子性。

2. 假设 被 覆盖， 在一切 上限制为 ，不妨将 替换 ，且设 ，那么诸 覆盖 ，也就是没有素理想（极大理想）包含一切 ，因此有有限多个 生成 ，也就是 ，考虑它的幂次知 也是 ，而 在 中为零等于说 ，从而即知 。

3. 这里只考虑 是整环的情形，虽然说非整环情况下结论也正确。如果 ，对每个 给定了 ，且在 上 和 相同。这里依然将 替换为 并设 ，从而诸 覆盖 ，有 ，并且可以将 替换为 ，于是要寻找某个 在一切 上为 变成要找某个 ，在一切 上为 ，也就是 。如果我们找到了这样的 ，那么 ，事实上对 ，由于 ，有 ，因而

和相应配套的层 与 定义了 的仿射概形。这种几何语言和交换环本身的代数语言之间具有一些对偶关系，具体来说

下面是一些基本例子

Exercise: 2.19, 2.26
Exercise for the ambitious: Check the sheaf property discussed in the lecture for rings with zero divisors. (This is tricky.)