Elena's Blog

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(a) , 从而 是素理想从而radical, . (b) . (c) 考虑对一个仿射变换(线性变换+平移) , 作用于代数集 得到 仍然是多项式, 且对应多项式环 ( 指 自然地作用于变元, 将变元变为原来变元的线性组合), 故可逆仿射变换在同构意义上不改变坐标环. 而对二次曲线 , 如果二次式部分是完全平方式, 则仿射变换 , 下(因为不可约所以是可逆仿射变换, 否则可以变形为 的二次多项式, 因为 代数闭所以可约)会具有 标准型; 同时如果二次式部分不是完全平方式, 先变成 形式, 再仿射变换则可变成 标准型, 考虑 则可变为 形式.

, 由 知 是素理想(从而radical), 从而 是 不可约代数集且 .

, 而 , 且 . 于是 (考虑这三个代数集对应的坐标环易知其不可约).

考虑 中对角线 , 因为 非Hausdorff所以对角线在乘积拓扑下不闭 (如果对角线闭则对 , 存在包含 的开集 与对角线不交, 也就是 , 即证Hausdorff).

不可约空间中任意两个开集都有交. 不可约等于 中任意开集在 中闭包是 , 等于在 中闭包是 , 即为 不可约.

因为空集没有不可约分支, 只需讨论 的情况. 假设 , , 则 对应 , 它的不可约分支对应包含 和 的极小素理想, 也对应 中包含 的极小素理想. 由于 非空且 , 所以 在 中非零非可逆元, 而 是整环故由1.11A, 中包含 的极小素理想具有高度 , 由 1.8A(b) 即 的不可约分支具有维数 .

的不可约分支 (因为不可约集闭包也不可约所以不可约分支是闭集) 对应包含 的极小素理想, 的不可约闭子集对应包含 的素理想. 假设 , 取包含 的极小素理想 , 对 归纳证明 , 从而由1.8A(b) : 由归纳假设, 在商环 中, 包含 的极小素理想高度至多为 , 且由1.11A, 包含 的极小素理想高度至多为 , 从而包含 的极小素理想长度至多为 .

(a) 只需证明任何 中的不可约闭集严格升链可以提升到 中的不可约闭集严格升链. 事实上对 中的如此升链 , 都是 中的不可约闭集 (Ex.1.6) , 且因为 是 中闭集所以 , 故 , 所以 是 中不可约闭集的严格升链.

  1. 由(a)只需证明 . 考虑 中不可约闭集的严格升链 和开集 , 如果 非空, 因为它是 中非空开集所以 , 从而由 得到 ; 此外, 因为 开, 中开集也是 中开集, 在 中稠密从而在 中稠密, 所以 不可约, 且是 中闭集. 因此对 非空的 (这样的 一定存在), 是 中不可约闭集升链.

  2. 考虑 , 唯一非平凡开集 . 事实上这个例子对应DVR的Spec, 是DVR时 , 唯一的非平凡开集是 .

  3. 考虑在 上定义拓扑, 其中非空真子闭集具有 形式, 则容易验证这定义了一个诺特拓扑空间 (闭集降链稳定) , 且其中任何闭集都不可约, 从而有无限长不可约闭集严格升链于是无穷维.

考虑到 和 , 按是否有某个分量为 分类讨论, 则 , 具体来说如果这三个式子同时成立, 则如果 有一者为 则全为 , 如果全不为 , 令 则后两个式子相当于 ...... (PS 这三个元素都不能去掉, 去掉第3/1/2个生成元会导致多出来x/y/z轴)

显然 的分式域在 上具有 , 从而 即 . 下证 非二元生成: 注意到 , 且 , 三者 -线性无关, 从而 作为 -线性空间 , 从而 作为理想生成元至少三个.

考虑 , 故在 上不可约, 而 可约.

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Chapter 2.2

ringed space非locally ringed的例子：取非局部环 ，定义预层 ，则其层化 是赋 离散拓扑后全部 连续映射，它在任意点处的stalk都是 .

考虑affine scheme时一个重点是忽略 以外形式的开集，绝大多数时间这些开集实际上不大重要，而且 形式的主开集作为一组基实际上决定了 .

关于Prop 2.2, 可以反过来将 作为 定义:

全体主开集 组成 拓扑基, 令 , 则这定义了 上的一个层

只需验证这个定义满足sheaf property. 取 和它的 (有限) 开覆盖 , 由于 , 不妨将 替换为 , 则在 中有 .

假设 在每个 上都是 , 也就是 , 由于 不妨将 替换为 , 则 . 因此这是一个separated sheaf.

现在验证sheaf condition (与2.2b中满射证明无异) : 如果存在一族 , 在 上, 也就是在 中 , 下证存在 , 在每个 中 . 上面的相容性条件相当于 , 而 的条件相当于 . 取充分大的 并以 替换 , 则相容性条件简化为 , 令 , 则 , 再以 替换 得到 . 的条件 (将 替换为 之类的操作) 简化为 .

取 , 现在相容性条件为 , 而 的条件为 . 如果 存在则 . 令 , 则 , 由此满足上述条件的 存在性得证.

对 ， 中开集 就相当于 ，而 。

按定义存在 的开覆盖 ，其中 ，而 是 中开集，所以是若干 的并，而 且 ，从而 是scheme。

(a) 如果 reduced，取某个非零函数芽 ，它任何代表元 都非幂零，所以 非幂零；反过来如果 都reduced，那么对 ， 幂零则 在 中的像幂零，从而等于 ，按函数芽定义 在 的某个开邻域上限制为零，由于 任意所以 。

注：对scheme ， 未必是层，比如说考虑 ，其中 ，那么 ，考虑 ，它在一切 中是 ，然而在 中不幂零。

(b) 首先考虑affine scheme的情况，此时 ，因为 ， 在一组基 上与层 相同，而 与 有自然的同胚，所以它的层化就是 （考虑层化就是局部截面的 映射，满足层公理则局部截面粘成整体的截面……）。现在对一般的scheme ，存在开覆盖 , ，在 上对 层化的结果是 ，从而 是Scheme。

现在构造 ：令 为预层 ，则有自然的预层态射 ，与 给出的 复合就给出一个ringed space的态射 （底空间的映射是 态射）。接下来证明它是scheme的态射：考虑它在仿射开集上的限制，如前所述，对某个仿射开集 ，在它的主开集 上 已经构成了一个层，所以 ，从而这个 态射在 上的限制是 对应的 ， 是这些scheme态射的粘合，从而是scheme的态射。

(c) 由于 reduced, 每个 都可以分解为 , 按取red的预层定义 给出预层态射, 从而按层化泛性质提升到一个层态射 . 现在证明这是一个locally ringed space的态射, 也就是在stalk上的映射把极大理想拉回到极大理想, 从而得到了一个 映射 (底空间的映射还是 ):

考虑取red和归纳极限交换, 而任何极大理想都包含 , 从而 是scheme态射意味着上述 也是scheme态射. 而取red和归纳极限交换是因为某个 中元素是幂零元当且仅当存在幂零代表元 (否则任意幂次任何代表元非零, 意味着它任意幂次不等于零), 严格来说就是归纳系中 诱导的 的ker正是 的幂零元.

还需说明 复合为 . 事实上考虑层间的态射 , 因为主开集 上 , 它在主开集上与 相同, 从而这个它与 相同. 同时, 在底空间的映射是 , 所以复合映射与 在底空间的映射也相同, 因此它就是 .

事实上此题结论都任意locally ringed space都对, 也就是对locally ringed space 和仿射概形 , 存在自然的双射这个映射就是取global section对应的环同态. 首先证明单性: 考虑 , 如果它们诱导的 相同, 取 , 设 , stalk间的映射满足交换图其中 的极大理想 被拉回到 , 也就是说 可以被 沿 和 拉回唯一确定, 于是 在底空间的映射相同. 而考虑对应的层间映射 , 在主开集 上 且有交换图唯一确定了 , 从而 .

再证明满性: 给定一个环同态 , 我们据此定义一个态射 . stalk 的极大理想 , 沿着 被拉回为 中素理想 (也就是 ), 我们定义 . 为证明 连续, 只需注意到 即 在 中可逆, 也就是 在 某个开邻域上可逆, 所以如果 , 某个开邻域也包含其中, 所以 是开集.

关于环层之间的映射, 如前所述 中每个点 , 都存在一个开邻域上 可逆, 从而 可逆, 因此可以定义唯一使图表交换的映射具体来说这个映射是 (因此stalk间映射为 ) 令 , 按 定义 被打到 中, 从而 是stalk间的局部映射.

2.4的简单推论.

零环的Spec的空集, global section是零环本身. 而任何它到locally ringed space的态射 对应一个环层的态射 , 相当于(空集上的section)环同态 , 因此 自然是locally ringed space范畴中的initial object.

是单点, 相当于(假设 被打到 )环同态 , 它是局部同态所以相当于某个非零的 嵌入.

是单点 . 作为 概形的 由自然嵌入 给出. 相当于对任意非空 都有 , 也就是 都是 -代数且限制映射为 -代数同态.

设 把单点打到 , 是 -代数局部同态 , 局部性即 , 由此 诱导出嵌入 , 但这是 -代数所以 .

而 等价于 ( 被打到 则它的像中元素在平方都是 , 在 中这种元素属于 ). 如果有这样的 则 诱导 -模同态 ; 反过来因为是 -代数且 , 中元素可以唯一写成 形式, , 故 线性映射, 也就是 对偶空间中元素, 都可以延拓至 的 -代数局部同态.

考虑affine covering , 非空的 在 中闭且不可约 (否则 是 中两个真闭子集和 的并...), 从而形如 . 而 , 是 中开集从而稠密, 意味着 . 同时由于Spec是 空间, 也是 空间, 即任何两点中两点之一的某个邻域不包含另一个点, 中不同元素的闭包不同, 所以generic point唯一.

对非零的 , 对应一个素理想 , 其residue field就是 . 而具有给定剩余域 点的数量, 就是 上 次不可约首一多项式的数量. 中元素都是可分多项式 的根, 且对任何 里的元素 , , 同时 当且仅当 , 所以 恰好是所有 上次数整除 的首一不可约多项式乘积. 假设 表示 上 次不可约多项式数量, 则 , Mobius反演得到

(a) 定义. (b) 从而是开集. 令 , 则 , 从而 是连续映射. 取 中一组开集基 , 则 诱导出 同态 (由于 保持分次所以它良定义) . 由于 限制在仿射开集 上是 诱导出的仿射概形morphism, 由此粘合为scheme morphism .

  1. 考虑到 , 于是 等于 中 部分的radical. 被高次部分所唯一确定, 于是 是单射, 且如果 , 则 , 所以 . 为证明 是同构, 只需证明 是仿射开集上同构粘合起来. 虽然 不是同构, 但是 诱导的 是同构 (显然这是满射, 至于单射考虑若 , 则 , 从而 , ) , 从而诱导仿射概形 的同构. 在每一个 上是同构, 从而 是同构.

  2. 对 中开集 , 中截面的定义为局部为 中相同次数的齐次元素之商, 在 与 自然的底空间同胚下与 上环层的定义完全相同, 从而有自然的同构 .

(a) 对 , 就是局部化 , 即 或者说 . 在每个仿射开集上开, 所以是 中开集.

  1. 拟紧从而存在有限仿射覆盖 , 在每个仿射开集上 在 上为 , 也就是存在 , . 取 , 则 在每个 上为零从而等于零.

  2. 在 上具有 形式, 其中 , 因为 有限, 存在 , 在 上是某个 的限制. 令 , 则 在 上为零, 由b问存在 , . 由此, 取充分大的 , 在 上是某个 的限制, 且 上 , 将诸 粘合为 , 则 是 在 上的限制.

  3. 考虑限制映射 , 在每个 上可逆从而在 上可逆, 因此诱导出映射 . 由c问这是满射, 由b问 (注意到b只用到了存在有限仿射开覆盖, 无需拟紧) 的ker等于 的ker, 因此这是单射.

(a) 考虑 做为 和 的morphism, 在 上限制相同, 事实上对 中开集 , 限制得到的两个 都是 的逆, 从而相同. 因此可以粘合得到一个全局的 . 是 morphism, 并且在每个 上是 , 从而 , 同理 .

  1. 同时由Ex.2.4, 给出 的morphism , 它将 打到 在 下的原像, 由此 , 而 的section间的环同态就是Ex.2.16d中定义的 , 从而 在 上限制是 同构, 而诸 生成单位理想相当于说 , 由a问 是同构, 是仿射概形.

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Chapter 2.1

一般范畴上的层：对预层 和开集 的一组开覆盖 ，考虑图表左边的映射是 ，右边两个映射分别是 作为 和 往 上限制。如果这个图表对任意 和 的开覆盖，左边映射都是右边的equalizer（或者说是右边双箭头的limit），则 是一个sheaf。具体的比如说对 ， 和 的equalizer无非 ，所以 上截面相当于一组相容的 上截面，即得常见的sheaf定义。

关于层化sheafication：一个非层的预层例子是常值预层 ，考虑在两个连通分支 上各取不同的 ，则无法找到一个 同时限制在 上是 ，是也就是同时等于 。它的层化 则是连通分支那么多个份 的乘积（考虑stalk皆为 ，section的定义相当于要求是 的局部常值映射，所以在连通分支上有唯一取值）。

关于direct image sheaf与inverse image sheaf：关于 不是sheaf的例子，考虑取 为单点空间而 不连通（）， 相当于 ，则我们得到了 上常值预层 ，它不是层。

回忆 的section被定义为 满足 且对任意 存在 的邻域 上 是某个 的函数芽，即 。而平展空间被定义为使得 都连续的最强拓扑。考虑到 皆为单射，且如果 和 在某点 处的函数芽相同，按定义它们在 的某个邻域上相同（从而有交意味着在某个开集上相同），所以一组拓扑基正是 ，这里 是任意开集。假设 是一个连续截面，如果 非空，相当于在 上 恒成立，于是知U到平展空间的continuous section与 的section是一个东西。

注：从平展空间定义层的话，比如说 上的sheaf，则需要一个拓扑空间 和底空间 ，以及一个局部同胚 ，也就是对任意 ，存在 的邻域 ， 是同胚（在由 得到的层 中， 就是 ），而 被定义为 的continuous section全体。而局部同胚意味着对continuous section ，如果 那么 在 某个更小的邻域上重合。

而对比如取值 的sheaf，则还要求 都有abel群结构，且 上群运算（加法/取逆）连续。要求 上群运算连续相当于要求stalk的运算保持代表元或者 是一个abel群。现在说明一些关于等价的证明细节：群运算连续意味着 关于群运算封闭，从而 是Abel群；反过来若 总是abel群，现证明群运算连续：对加法 ，取一个点 ，，设 ，要证明 在 处连续，则只需证明 任意邻域的原像是 的邻域。而 的任意邻域都包含某个 ， 是 的某个代表元,所以只需证明 的原像都是 的邻域。类似取 的代表元 ，对足够小的 ， 中有 ，从而 在 作用下包含于 ，由此知加法连续。取逆的证明并无区别，不再赘述。

设 是连续映射， 分别是 上的层，记 为 ，至于 关于 的限制映射考虑到定义 的偏序集是定义 的偏序集之子集，从而由colimit的universal property自然给出。类似地 在 中不同预层间的态射也由于colimit的构造，且关于 具有函子性。

只需证明 是 的左伴随，有自然同构证明此事由层化的universal property自然得到 是 左伴随。先定义自然的映射 和 。事实上对应包含 的偏序集中正包含 ，所以colimit自带了 ；对 则是但对每个 都有 ，所以每个 到 的限制给出了 。

现在给定态射 ，用 作用之后再用 拉回得到 ；类似地，给定 ，用 作用后再以 推出得到 。验证它们是互逆的自然变换则大功告成： 由包含 的 构成， 就是这些 到 的一族相容同态，以 作用后只考虑诸 ，而由于 包含 故colimit的cone构造中自带了 ，复合起来正是 ；反过来 就是 ，每个满足 的 都有向 的限制，于是用 作用后以 推出相当于给定 ，所有 的 对应的 给出的 。

简而言之，两者作用分别是对 取出所有colimit构造中带有的 ，以及对 关于合适的 对 取colimit，只需注意到对 ， 和 只差一个限制，则立即可知两者互逆。

对开集 , 记 , 将 中元素定义为满足以下条件的一族 ： ，且（考虑到层在开子集上的限制无需层化显然直接是层）则对任意 都有 . 到 的限制将每个 限制为 , 由于 是层的态射, 所以上面的限制良定义, 且使 成为预层.

现在验证 是层：取 的开覆盖 ，如果 在一切 上限制相同，也就是每个 分量 在 上相同, 由于 是层所以 , 从而 , 粘合性质的证明也类似. 还需要构造同构 , 但考虑到对 , 中section由它在 上分量确定（ 分量由 给出）, 从而得到了 . 也立即可得。

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对三维叉乘，它的核心性质是，假设 是两个向量，我们希望定义它们的外积 ，使得对任何向量 ， 围成的有向体积是 。

固定 ，行列式 是 的线性函数，按Riesz表示定理，对线性函数 ，存在唯一的 使其写成内积 形式，这个 线性依赖于 。具体来说考虑行列式展开于是就得记 ，称为 的叉乘。叉乘的定义可以记作相当于使它变成一个与 点积时把 替换为 的式子（考虑关于 i/j/k 点积相当于取第1/2/3个分量）。

现在说一下这个叉乘的几何直观。叉乘的几何直观就是行列式按行列展开的几何直观，实际上为行列式多重线性的几何直观。行列式为其列向量的重线性函数固定底面，考虑 与 组成平行多面体（在高维这一般叫有序单形）有向体积（即它们的行列式），由于平行六面体 在 终点在平行六面体上表面关于 $(a,b) 平行移动时体积不变，所以理应当有$类似地将 长度变为它自己的某个实数 倍，即以 代 ，使得有向体积变为原来的 倍。这是行列式重线性的几何直观。

接下来考虑二维行列式为何能表示体积。具体来说，考虑对向量 ，它和y轴上向量 （ 分别是 x,y 轴正半轴的单位向量）围成体积是 ，与 围成有向体积是 （因为 ），从而 和 围成的有向面积无非是两者之和，我们熟知的 。于是对行列式按最右列展开展开假设 而 ，这个实际相当于说 和 围成的有向体积的是 和 围成的有向体积之和，而 围成的有向体积只和 在 yz 平面上的投影有关，因此正是 ，另外两者同理。

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