Elena's Blog

(a) 考虑到共轭类和中心要么不交，要么是单点且包含于中心，于是 自然意味着存在包含于 且长度与 互素的轨道 。对 ， 无非相当于 被共轭作用的轨道，于是即知 。
(b) 的 -子群存在性由交换群相关假设给出。

$$

(a) 假若有两个不同的Sylow -子群 ，则 ，然而考虑某个 以左乘作用于 $$

(Remark) 诺特环 的形式幂级数环是诺特环

对 中理想 ，考虑理想 定义为一切 的幂级数第 次项系数（ 为最小系数非零次项次数），则 构成 中理想升链从而稳定为 。因而对某个形式幂级数 ，不妨设其非零项次数大于等于 （ 部分和上一个证明完全无异），则会得到一系列（ 在 被消去后变成 ）
这涉及到无穷多次求和的操作，但注意到其中 系数（对次数大于等于 时）形如可和，从而也是形式幂级数。

显然 可以Zorn取极大元 。假设 ，而 ，那么 有限生成，也就是被 生成，这里 ，特别地，每个 都可以被写成 形式，从而设 ，则 。而 ，从而 严格包含 ，因而有限生成，而 有限生成，矛盾。

显然如果 幂零则 皆幂零。反过来，如果诸 幂零，考虑理想 ，假设 被 生成，取 ， 和 ，则 中每项皆为 中元素，而 由 生成，其中 ，因而 ，于是 。

如果 诺特，对 中理想 ，考虑它在 中生成的理想，再取生成元组常数项系数即可证明有限生成。（或者考虑 作为 的商环诺特）

和基定理证明毫无区别。

考虑 中的理想 ，其中 是 的生成元，则如果它有公共零点 ，那么首先诸 在 处为 ，从而 ， 在 处为零，但这意味着 在 处的取值是 ，矛盾。于是 没有公共零点，由弱零点定理它是 。特别地带入 ，把分母乘过去即知即 。

令 ，由 知其不为代数整数（否则比如说乘某个 中元素整除 中首一多项式，那把分母最小公倍数乘起来，则在 中整除等式右边不整除左边，矛盾）。

令 ，由于 在 中整闭（因为是UFD），故只需证 在 中整闭。假设 满足关系则考虑 最高次项系数 ，它满足某个 系数多项式从而属于 。现在对 归纳证 ，事实上考虑 降次即可。

考虑 ，满足关系 。

Emil Artin之Algebra with Galois Theory中Ch5的省流版。以及Borcherds的Galois Theory课的部分内容

分裂域与代数闭包

设 ，则存在域扩张 使 在 上分裂

在 中有素因子分解扩域 得到 的一个根，在其上 至少多出一个线性因子，如此重复即可。

5.1中得到的扩域是最小的使 分裂的扩域

任何 分裂的扩域都包括 的根 ，也包括它们生成的 -代数。反过来， 由 的全体多项式组成，从而 由 的全体多项式组成，……

假设 与 同构， 对应于 ，假若 分别是 分裂域，则 和 同构可以延拓至 同构，特别的， 在 上分裂域在同构意义下唯一

素因子分解给出对线性因子个数 反向归纳（ 推 ）： 关于 和 关于 的单代数扩张同构，所以把基域换成 和 ，则即可归纳。

对域 ，存在 的代数扩域 ，使得 代数闭，把 称为 的代数闭包

考虑 中全体不可约多项式集合 ，考虑环 中诸 生成的理想，它是真理想（只需证明对有限 个不可约多项式这个结论成立，然后对 归纳商掉 即可），从而包含于极大理想 中，令 ，则 可以嵌入 （因为 都可逆）且 是 的根，从而 是代数扩域。

现在假设 在 上代数，即有关系则因为 有限扩张， 有限扩张，所以 在 上代数，即 。

注：代数闭包在同构意义下唯一，但并不具有函子性（比如说事实上考虑它的构造依赖选择公理），以及绝对Galois群 也如此，但取定了代数闭包之后的（带基点）绝对Galois群具有函子性。域论的概念和拓扑中有所对应，扩域对应覆叠空间，Galois群对应基本群，而此处和代数闭包的情形类似，道路连通空间的基本群和基点选取无关，但是不同基点之间基本群的同构证明依赖两点间道路选取，所以 不具有函子性，但 具有函子性。

一种绕过这组问题的手段是考虑Groupoids（态射皆iso的范畴），我们有 的absolute Galois groupoid（Object为代数闭包 ，态射则是代数闭包间同构），与 的fundamental groupoid（Object是 ，态射是道路的同伦类）类似。

代数闭，这是著名的代数基本定理。我们给出它的一个拓扑证明。考虑不可约多项式则 非零，于是在异于原点的一处。而对充分大的 ，在这个圆上 的轨迹近似于大圆，从而随 绕大圆一周 绕原点 周，然而在 缩小到 的过程中winding number由 变化到 ，那么应有一个中间时刻 过原点。

Puiseux级数域 代数闭。

有限域

有限域 是 的分裂域，其中 ， 阶有限域在同构意义下唯一

找到有限域上不可约多项式的一个有效算法是筛法，和整数情况并无区别，比如说我们可以找到 上的不可约多项式是这多少使我们可以具体计算 ，譬如说 ， 当然这里还有 ，我们自然会去好奇这两个不同构造间具体的同构如何。事实上，考虑 ，从而 ，于是 ，从而 给出我们想要的同构。

我们可能很想要一个“标准的”多项式取法，让我们可以比较典范地把 写成对应多项式在 上的商，不过一般来讲并没有这么一个典范的取法。

当且仅当

事实上考虑 作为 -线性空间即知 ，反过来如果 ，那么 在 上的分裂域就是 。

作为一个应用，我们可以计算 上某个首一特定次数的不可约多项式数量。比如说对 上 次不可约多项式，则按极小多项式考虑只需考虑
作为结果我们知道 可以被分解为 个 次多项式， 个 次多项式， 个 次多项式和 个 次多项式的乘积。

可分扩张

假设 是 的分裂域，则

假设 有不可约因子 ， 的根是 ，则 给出 与 的同构，从而延拓至 的自同构

在 上有素因子分解诸 非线性，如果 在 分裂域 中皆无重根，则 中没有 以外的元素在 作用下不动

事实上只需证明，对代数扩张 ，假若 极小多项式 在 中分裂无重根，则 作用下， 中没有 以外的元素不动。不妨设 的根 ，则 给出 的自同构，则作用于不动元 得到多项式 有 个根，因而系数全为 ，于是 。

接着对 反向归纳，如果 情况下命题成立：考虑取 的根 ，则在 中有分解 其中 整除某一 。 仍然是 在 上的分裂域，而 从 处继承来无重根的性质。

特征 域上不可约多项式无重根（也就是可分），特征 上不可约多项式则会分裂为 形式

如果不可约多项式 有重根 ，则 ，这意味着 ，考虑次数知 。特征 直接导致矛盾，特征 则推出 具有形式，令则 ，如此重复直至 不可再使 增大。而意味着 不可约，从而无重根。现在有 ，取 为 的根，则

有限域的代数扩张皆可分

只需考虑有限扩张， ，则因为 可分（考虑无重根或者导数 ）所以扩张可分。

考虑一个不可分扩张的例子。假设域 有正特征 ， 是代数扩张，这里 不可约，但在 中 。

假设 是代数扩张，设 是 的可分闭包（即所有 中可分元组成的域），则 是可分扩张，而 是纯不可分扩张，也就是 中所有元素都是某个 的根，这里

Galois理论的主要关注点就在于可分扩张的部分。

正规扩张

一般来说正规扩张的正规扩张未必正规，例如 。

群 在 中的不同特征（即 中非零元） 线性无关，特别的， 的不同自同构作为乘法群的特征 -线性无关

假设诸 的非平凡线性组合为 ，则取某个极小线性相关组换 为 ，给原始式子乘 后两式相减得到取使 的 ，则与极小线性相关的条件矛盾。

假设 是由 的自同构组成的群 中元素， 是 的不动域，则

只需证对 ， 中 个元素 线性相关。方程总有在 中的非零解 。因为 是群， 总会出现在 中，那么如果能从这组解诱导到一个诸 都在 中的非零解，则就得到 ，从而线性相关。

现在考虑以上方程被 作用，也就是这无非是以上 个方程的置换，所以 作用于 依然是方程的解，从而 是方程的解，而这组新解因为对称性被 作用不动，从而属于不动域 。

现在只需要找到合适的 使新解非零。考虑到 乘上任意 中元素仍然是以上方程的解，所以如果 ，可以设 为任意 中元素。现在设 为使 非零的 （按线性无关存在性有保障），那么便证完。

是 -自同构 组成的群， 是 的不动域，则 是可分正规扩张

取 ，令 ，将诸 中不同的取出来 ，考虑令 作用于 的系数，则无非相当于对 做置换，所以 保持不动，因而系数都属于 。诸 中出现 ，所以 中有 。

事实上 中的 是不可约多项式。考虑 作用于 知 都是 的根，于是 是以 为根的非零多项式中次数最小的，从而不可约。这给了我们一种求 极小多项式的办法。

有限扩张 是正规扩张当且仅当 是 上某个可分多项式的分裂域

：定理 。
：取 为 一组基，由 给出可分多项式 ，则考虑它们乘积的分裂域即可。

如果 正规， ，则 正规

事实上我们有

设 是代数扩张，则以下条件等价：(1) 正规 (2)如果 中不可约多项式 在 中有根，则 在 中分裂 (3) 是 上某个可分多项式族的分裂域 (4) 取 的代数闭包 ，对 ，对任意 ，

(2)(3)：取 上元素 的极小多项式 ， 的分裂域是 。
(3)(4)： 保持 不动。
(4)(2)： 中不可约多项式 在 中有根 ，在 中还有其它根 ，则事实上存在 的 的 -自同构，于是 。

Galois理论基本定理

设 是有限扩域，，以下条件互相等价（满足其一者称为Galois扩张）：(1) 是正规可分扩张 (2) (3) (4) 是某个可分多项式的分裂域

(1)(2) ：对 ，由于 正规， ，如果 ，则 到 有 种嵌入，再次基础上 在 中有 种取值…… 有 种嵌入。考虑到 是分裂域，所以 。
(2)(3) ：从前面证明中也可以得出 对任意 成立，从而对扩域 有于是 知 。
(3)(4) ：定理 。
(4)(1) ：显然。

（Galois Corresponding）有限扩张 Galois当且仅当任何中间域 和子群 有反序的互逆双射

假设 Galois。从 出发到 ，我们知道 ；从 出发到 ，我们已知 ，图解如下现在我们想证明这两个包含关系取到相等，只需证明它们具有相同大小（对域指index，而群指阶数）。

我们将证明命题中的两个映射都保持“大小”，从而我们想证明的两个包含关系两端大小相同。具体来说，我们将证明 和 总成立。上面已经证明了 Galois，从而 。到现在为止还没有用上 Galois的条件。

现证 。 正规所以 ，从而 中自同构构造可以分解为两步，取出 中映射和从 到 的延拓。取定 ， 到 自同构的延拓（也就是满足 的自同构 ）数量不超过 ， 的取法不超过 ，于是而 Galois，从而 ，因而上面的两个 和 的不等式都严格取等。特别地， 到 自同构的延拓数量严格等于 ，而这些延拓的数量等于 ，于是我们证明了 。

注：如果没有 Galois的条件，令 ，我们将得到 子群和 子扩张的一一对应（事实上 Galois……）

考虑 在 上的分裂域，Galois群同构于 ，具体来说就是 的置换，它Galois群的子群格和子扩张格如图，标绿线的是正规扩张/正规子群，画圈的是共轭类

考虑域扩张 ，首先注意到Frobenius自同构 的order是 （），而 ，于是 一些子群格和子扩张格如下

考虑 ，其中 是七次单位根，则易见 是 的乘法群，它的子群格如下由此我们可以反求出它对应的子域。对三次的子扩张，它在 和 （也就是复共轭）下不动，于是其中包含 ，令 考虑则立即知遂求出 的多项式 。对另一个二次的子扩张，考虑 ，则 自然在对应子群作用下不动。现在考虑 ，于是 ，从而 。

，具体来说 形如具有二面体群的乘法规则 。事实上我们可以把 的四个四次根画出来由于 被保持，所以 中元素都是正方形的对称。它的 阶子群有 、 和 ，二阶子群则有五个，子群格形如

也可以可视化如图，上面五个二阶群中绿线是对称，中间的是旋转180度，下面的则是矩形的对称群和正方形的旋转群通过这些Galois群可以很容易地计算出对应的不动域具体来说，由于 是翻转，所以正方形旋转群的不动域是 ；两个扁矩形的对称中，如果不是180度旋转（也就是改变这些四次根的平方的情况）则需要带一个 的翻转，所以对应不动域分别是 和 ；显然水平竖直对称分别对应 和 ，180度旋转是它下面三个子扩张之和，所以是 ，而对两个斜向的对称，考虑比如说把 和 加起来，则得到一个不动元 ，所以可以算出两个不动域分别是 和 。

这里左边的两个对称和右边的两个对称分别互相共轭（从而不动域也共轭），除了这四个子扩张，剩下的子扩张皆正规。