如题

b.考虑 共轭作用于 ；d.考虑到 和 交换， 。

若 则首先 平凡， 为交换群。进而 的自同构可以诱导出 的自同构，从而 中只能有不超过二阶元。由此 成为一个 -线性空间，从而 即 平凡当且仅当 。

注意到 是 包含 的子群，从而指数是 的因子，而 ，于是可知 也就是 。

另证：令 ，则考虑 对 的作用 ，通过 易证其良定义，并且若 则 进而 ，所以 在 上作用自由，从而 在 上作用的每个轨道都有 个元素，因而 。

a. 考虑 则 ，从而若存在 和 ，那么 且 ，矛盾。 b. 考虑 以左平移作用于 则 可知 ，但 和 均不含 。 可以写为三个二阶群的并。

考虑 在 上的作用注意到故这个作用良定义且给出单同态 。 时 是正规子群。
时，若 并非正规子群， 有两个左陪集 ，因为 非正规所以 不能总等于 ，进而 在 上的左乘作用传递，而 和 的稳定子必相同，从而包含于一切 。 意味着这个稳定子指数2，即得命题证明。

a. 中 与 可配对。此外注意到若 ，假设其非零，那么 给出一个维数大于1的 -线性空间。另一方面考虑 作用于 ，一切轨道形如 ，于是 中元素乘积等于 。b. 显然。 c. 注意到于是即得 。 为奇数意味着 。

a. 最大的 不能小于 ，也就是最小的 不超过 ，从而只有有限多种选择，于是对 归纳，考虑 对应的方程立即可知此时方程也有有限多组解。

意味着 属于 共轭作用下 的稳定子，而稳定子大小乘轨道长度等于 。

考虑对 的像 应用Goursat引理，则对 和 ，有同构 由 给出，从而可取 和 和 ，其中 为自然投影。

a. 对应定理的简单推论。b. 假若不然， 中有非平凡元 ，则 时取 ，否则 有限阶时取 即得单群。 c. 令 ， , 则 为 子群且可以应用Goursat引理，也就是对 和 ，有 同构与之对应，但 于是 且 ，由此即得 。

(i)和(iii)显然等价，有限情形(iv),(v)和(iii)等价性无非式(1.3)。(ii)推(iii)显然，而反过来假若 在 上作用不传递，则存在 落在不同轨道里。

若 ，则可取使 的 ；若 落在同一轨道，即存在双射 使 ，则自然 。Bell数的递推公式写成则无非是在分类讨论 所在等价类的元素个数。

考虑到轨道长度有限，从而稳定子指数皆有限，而稳定子的上升包含意味着指数的下降链，从而存在极大的稳定子 。由于 极大，所以 中元素 稳定子包含 意味着 ，从而每个 所在轨道都同构于 。考虑到 则 ，可知 中和 同轨道元素的数量为 ，因此 中在同一轨道的元素数量只依赖 的性质而与 本身无关， 与 同构，则剔除上面涉及到的诸轨道后， 与 依然满足题设，从而归纳可证。

a. 取 中非单位元，则存在其幂次为素数阶，而自同构保持阶不变，因而由 在 上作用传递性可知 中元素阶均为 。b. 此时 中一切元素满足 ，从而 ，因此 为交换群，于是成为 -线性空间。 c.

意味着 ， 和 必居其一，分别对应单射和平凡情形。若 在 上作用双传递，则取 ，则11题(ii)告诉我们 在 上作用传递，从而对严格包含 的子群 ，取 ，则 给出 在 上作用传递，而 的每个 陪集恰对应某个 ，于是可知 。由此知 极大，即 在 上作用本原。

a. 长度有限，于是自然想到考虑 Jordan-Holder滤链末端的单群，它是极小的正规子群。对两个不同极小正规子群 和 ，因为 正规故 ，那么 中元素被唯一表为 乘积，对 ， 给出 在 上投影 ，类似地可知 在 上投影 ，由此即得 ，从而 是直积。现在考虑对上述单群 ， 被 作用的轨道中各子群乘积给出特征子群 ，从而 。又 长度有限意味着轨道长度有限，否则无穷乘积长度并非有限（或者按serre提示言，按 轨道中有限多子群乘积子群也都长度不大于 长度，所以可以取包含意义下极大的乘积，那么因极大性 轨道中一切子群都应被包含）。从而立即可知 。现在因为 为 乘积，所以 的正规子群就是 的正规子群，于是 为单群。 b. 如果 不是特征子群则

流程控制

For

for循环形如

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2

for VAR in ITERABLE:
    BLOCK

1
2

for VAR1,VAR2 in ITERABLE:
    BLOCK

错误处理

raise [exceptionName [(reason)]]会抛出异常，名称为exceptionName而描述为reason，形如exceptionName: reason。raise会抓取最近的报错信息（如在上一层try中被抛出的，try中异常被处理结束之后便不会再抛出），如果没有默认RuntimeError。
try和except可以不让程序报错的情况下尝试执行一段代码并就相关异常抛出进行处理，具体来说形如

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try:
    # ...some error prone code... 
    code block 1 
except: 
    # ...do something with the error... 
    code block 2 
except Exception_Name_1: 
    # ...do something with the error... 
    code block 3
else: 
    # ...to do when there is no error...
    code block 4
finally: 
    #...some clean up code...
    code block 5 

文件操作

基本I/O

电脑向python程序输入数据可以通过电脑键盘（keyboard）和输入文件（input data file）来输入，输出数据可以通过the monitor screen和输出文件来输出。

variable_name = input([prompt])prompt用于提示用户，从屏幕上输入的内容总是str类型。

print(..., end = str)可以使print输出...后再输出str，默认str为换行。

文件可以被大体分为binary files (二进制文件)和text files （文本文件），文本文件存储的是ASCII码。二进制文件一般包含headers以标识其文件内容，如果header无效则supporting programs可能不会打开这个二进制文件或者报告其损坏。二进制文件相对来说读取和存储速度更快，更少限制性而且更具安全性，但更容易损坏。

基于unix的操作系统中文件路径分隔符（delimiters）用/，对大小写敏感。而Windows则是\，对大小写不敏感。带有.或..的文件路径为相对路径，如..\langur.txt定位当前目录的父目录中名为langur.txt的文件，而..\langur.txt则定位当前目录，..\..\langur.txt定位父目录的父目录。

OS模块

Python中os模块处理与操作系统的接口，需要import os。
os.getcwd()将返回当前工作目录的路径string。
os. listdir(dir)返回一个list，其中元素是dir中每个文件名称的string。dir默认是当前工作目录（string类型）。
os.remove(file)删除名为file的文件（file为string类型）。
os.rename(source, destination)将source重命名为destination。
os.mkdir(path)创建一个新目录path。
os.path.join(path, *paths)把一串路径串联成一个大路径。
os.path.exists(path)、os.path.isfile(path)和os.path.isdir(path)返回bool值判断是否存在如path所述的路径、目录和文件。
os.path.getmtime(path)返回path最新一次被修改的时间。
os.path.split(path)返回一对string，(head, tail)，其中tail为字符串直至最末分隔符的后缀，其余在该分隔符前部分为head。

读入/写入文件

open ( file, mode, .. )会返回一个文件句柄，file为文件目录，可以绝对可以相对，mode是字符串以描述这个文件会如何被处理，具体来说的mode如下：

.read(n)将从文件中读入n个字节的内容，默认全部读入（不推荐）。.readline(n)将从文件读取整行包括换行符\n，如果指定了一个非负数的参数，则返回指定大小的字节数，包括\n字符。如果已经到文件末尾（碰到结束符EOF）则会返回空字符串。.readlines()返回一个list，每个元素都是文件中的一行。如果碰到EOF则会返回空字符串。for i in f，其中f为读入文件句柄，可以按行迭代文件内容。

读入的结尾需要关闭文件，即.close()。

with statement可以自动关闭文件，它形如：

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with open(file, mode) as file_handler:
 Statement_1
 Statement_2

with open(file, mode, encoding='')将确定读入时选择的编码。如encoding='ascii'、encoding='utf-8'分别对应ascii码和utf-8编码的情况。python3默认为utf-8。

file.write(byte)可以向file_handle对于文件中写入string。write不会自动补上换行符。与read时类似的也有file_handle.writelines(list)。（同样不会默认加\n）

常见文本文件格式

.txt / .tsv文件用Tab制表符\t分隔，CSV（Comma Separated Values）文件用,分隔。

import csv 可以调用CSV模块。
csv.reader(file, delimiter='')返回一个reader object，可以按行迭代csvfile文件中读取内容（每行都返回为string），csvfile可以是文件或文件对象，也可以是类似文件的对象（如StringIO对象）。delimiter为分隔符，默认为逗号，也可以改为如'等。类似地，csv.writer返回将数据写入 CSV 文件的写入器对象

在csv文件中写入内容可以考虑

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csvwriter = csv.writer(csvfile, delimiter='')
csvwriter.writerow(row)
csvwriter.writerows(rows)

csv.DictReader(f, fieldnames=None, restkey=None, restval=None, dialect='excel', *args, **kwds)会返回一个类似reader的reader object，但将每行中的信息映射到一个字典，该字典的keys由可选的fieldnames参数给出。fieldnames参数是一个序列。如果省略字段名，则文件f第一行中的值将用作字段名，并将从结果中省略。如果提供了字段名，将使用它们，并且第一行将包含在结果中。无论字段名是如何确定的，字典都会保留它们的原始顺序。例如csv.DictReader(f, fieldnames=['a', 'b', 'c'])则对应的keys是a, b, c，而默认则是csv文件第一行对应内容。

如果一行的字段多于字段名，则将剩余的数据放入列表中，并使用由restkey指定的字段名（默认为None）存储。如果非空白行的字段少于字段名，则用restval的值（默认为None）填充缺失的值。

类似地还有csv.DictWriter(f, fieldnames, restval='', extrasaction='raise', dialect='excel', *args, **kwds)。它将创建一个对象，其操作方式与常规写入器类似，但将字典映射到输出行。fieldnames参数是一个键序列，用于标识传递给writerow方法的字典中的values写入文件f的顺序。它的用法例如

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import csv

with open('names.csv', 'w', newline='') as csvfile:
    fieldnames = ['first_name', 'last_name']
    writer = csv.DictWriter(csvfile, fieldnames=fieldnames)

    writer.writeheader()
    writer.writerow({'first_name': 'Baked', 'last_name': 'Beans'})
    writer.writerow({'first_name': 'Lovely', 'last_name': 'Spam'})
    writer.writerow({'first_name': 'Wonderful', 'last_name': 'Spam'})

Pickle模块

在程序生命周期中创建的所有变量都临时存储在内存中，并在程序终止时消失。而pickle模块是Python专用的持久化模块，也就是让数据持久化保存。 “Pickling” 是将 Python 对象层次结构转换为字节流的过程，而 “unpickling” 是逆操作。

pickle.dump(pythonObject, pickleDestination, pickle_protocol=None, *, fix_imports=True)将python对象pythonObject转换成写入pickleDestination的字节流。类似地可以用pickle.load(f)。用pickle.dump和pickle.load读写文件时要用wb和rb模式。

pickle.dumps(pythonObject)返回pythonObject转换而来的二进制串。pickle.loads(bytes_object)有类似功用。

Booleans, Integers, Floats, Strings, Tuples, Lists, Sets, Dictionaries均能被pickle。

Borcherds交换代数网课的笔记

关于环与模

群环（Groupring）往往是非交换环。

微分算子环中有在这里 某种意义上比 本身更简单， 分别为 。也因为这样的原因类似这样的环和交换环“相差不是很远”，很多交换环上的技术在这种环上也可以应用。

burnside多项式

对一般的不含幺环，我们某种意义上有办法把它变成一个含幺环，也就是“硬塞”一个新的单位元 ，记号上可以感性地写作 ，其中环中元素皆有 形式，乘法的定义是自然的（有点像半直积）。

将这种构造称作 的unitization，记为 ，此处的 是Abel群的直和而非 中的直和。

注：unitization具有函子性，并且是 遗忘函子的左伴随。事实上自然可知。

具有compact support的 关于加法和卷积形成一个不含幺环。

对局部紧拓扑空间 ，称其上函数vanishes on infinity如果对任意 ，存在紧集 使得 以外函数绝对值小于 ，则全体这样函数组成的环 有单位元当且仅当 紧致。这给出了一种不含幺环与局部紧拓扑空间，含幺环与紧空间的对应，unitization则对应单点紧化。事实上单点紧化也是带点拓扑空间范畴 到 的遗忘函子之左伴随。

取 ， 的单点紧化是 ，而 是 ，这里的同构依 给出。然而对 也即两个 ，有 （因为 ）而 则不然（此时是相当于三个 [0,1) 将其开的那端同接上同一个点之后的 ）。

模

模因为对商封闭而比理想更灵活。

Abel群=-模

线性空间和 - 模有一一对应，线性变换和 - 模有一一对应。

理想 作为 的子模，商环 作为 -模，且两者之间有一一对应

-代数 等于说环同态 ，

群代数（又名群环）-模等于说 -线性表示。

代数不变量

群 作用于 和 ，则 在 函数空间的作用可以被自然地定义为或者等价地说

这有点类似在乘积 上的作用可以被自然地定义为 这里 是函数空间而 是 。而如果比如 ，则 ，这也就是取 的意义所在之一。
另一种观点是考虑群 作为单点范畴，那么 在集合上的作用即为 函子，上述 -映射的定义无非自然变换

正交群作用于 时一个自然不变的多项式是长度平方 。 被定义为（作用于 上）保持 的群。

作用于 从而作用于 ，不变量是全体对称多项式，构成一个 上有限生成代数（由全体基本对称多项式生成），多项式环 。事实上这种不变量的代数是多项式，也就是没有约束地自由生成当 是反射群（reflection group）时会发生。

作用于 ，全体不变量（多项式）由 生成，其中 ，且有唯一的非平凡关系其中 为多项式（因为 即定义为 保持 不变的子群， 为对称多项式）。这是一阶合冲（syzygy）的例子。

作用于 ，具体来说是乘上三次单位根 ，则全体不变多项式由 生成，记它们分别为 ，则有关系中 应为零且应为零，这在某种意义上是“低阶”和“高阶”的生成元间关系。

令 为 ，这种关系可以用模的正合列（ 按如 这样的规则自然成为一个 -模）表达，其中， 把 的自由生成元 打到上式中对应的 中多项式（常数）， 则把 （对应 ）打到诸 的线性组合。诸 对应关系称为一阶合冲（syzygy）， 对应关系被称为二阶合冲。直观来讲二阶的合冲就像轭把耕牛绑在一起一样把一阶合冲绑在一起，或许这是其得名原因。这种概念有着一般的定义：

一个 -模的复形指一系列 和模同态 ，满足 结合皆为零。满足 且正合的自由 -模组成复形称为 的自由解消， 的像称为 的 阶合冲。如果 而对任意 都有 非零，则称 的长度为 。上面例子里 。

考虑 上全体二元齐次多项式形如被 作用（乘在 ）。在作用下不变的 的多项式有诸如所谓 catalecticant等。Paul Gordon证明了这些不变量有限生成。

有限生成有多种不同的含义：

1. 作为模或者理想有限生成
2. 作为 上代数有限生成
3. 作为域有限生成

属于2而非1， 或者 （后者含幺）属于1而非2， 属于3而非2或1。

对 -模 和 ，给出一个长度无限的自由解消。

诺特环

Reading Section (Eisenbud'c Commutative Algebra): 1.4
Exercises: 1.1, 1.3, 1.4, 1.5

诺特环 是所有理想均有限生成的环。

如下条件等价：
1. 是诺特环
2. 任何 理想组成的集合（在包含关系下）有极大元素
3. 理想包含升链稳定

考虑一系列环： ， 上解析函数环， 上解析函数环， 上光滑函数环， 处的解析函数环， 处的光滑函数环（商去函数芽的等价） ，这些环每一个都包含于下一个（除最后一步只能是映射到形式幂级数环外） 。它们中第一三五七个为诺特环，二四六非诺特环。具体来说，对24考虑取定义域内无极限点无限集，则在其上除有限点外均为 函数给出非有限生成理想，对3我们可以证明在闭区间上解析函数只有有限多零点，从而任何解析函数可以被写作多项式乘可逆元（无零点幂级数），对5注意到任何 处解析函数都可以被写作 乘某个可逆元，对6考虑 其中 ），而且，其中 处解析函数环和 因为非零真理想都是 成为所谓离散赋值环的例子。在这些例子里，我们发现诺特的那些中的零点都表现得很好，都有有限的大小而且可以被控制，而

对任意整环 ， 是诺特环，而其子环 未必是

诺特环 的商环 是诺特环，从而诺特环上有限生成代数作为多项式环的商环是诺特环

注意到 中理想和 中包含 理想有自然的对应，从而 中任何理想组成的集合有最大元这一性质也被赋予给 。

多元多项式环中理想的生成元数量并不能被未定元数控制。例如

考虑 中，一切次数不小于 的多项式组成的理想 ，也就是 ，那 是一个四维的线性空间，它的一组生成元至少包含一组基，于是这个理想不可能被小于四个元生成。