Borcherds交换代数网课笔记

Lecture 1-8

Lecture 9-15

Lecture 16-19

Lecture 20-23

关于Atiyah交换代数

第一章习题答案

第二章习题答案

第三章习题答案

第六章习题答案

第七章习题答案

关于Fulton的代数曲线

截至第二章

semi local的例子有局部环的乘积和

如果放弃命题中 的有限性条件，则 (1) 有反例 ， 而 ；(2) 有反例 ， ， ，这里 是第n个素数。

设 ，注意到 可逆 ，从而 有逆元 。

(i)： 只需注意到 幂零，从而 被分解为可逆+幂零。现考虑 ：假设 的逆为 ，则有 ， 等等，在第二个式子两侧同乘 得 ，同乘 得 ，如此递归下去直至 ，而 可逆故 幂零。 为可逆元加幂零元，从而也是可逆元，因此递归可知 皆幂零。
(ii)：类似的手段，证明 幂零于是 幂零。
(iii)：取 最小的使 的 ，考虑到如果 使 ，则 ，从而 （否则 ， 次数下降），于是 ，结合 知 。
(iv): ：若 本原，只需考虑其系数环量组合为 的式子中分别关于 和 主元整理即可知 本原。 ：模仿Gauss引理证明即可。若 分别本原，也就是 且 ，假若 并非本原，即其系数生成理想是真理想，则存在某个极大理想 包含它，从而对 ，在 中 但 ，矛盾。

没区别。

只需证如果 可逆对任意 成立，则 幂零。设 ，则 可逆，从而由 知 均幂零。

(i)：显然。(ii)： 幂零则 幂零，从而 幂零，如此递归即可证明 皆幂零。(iii)：(i)的立即推论。(iv)：由(iii)， ，从而 ，于是 ，从而 是域，即知 极大。(v)：考虑理想 。

只需证Jacobson根都幂零即可。设 可逆对任意 成立，如果 非幂零，则 中包含幂等元 ，而 可逆意味着存在 使得 ，从而同乘 得 ，则 ，矛盾。

对素理想 ，商环 是整环，而任何元素 的投影 为 的根，如果 非零则 从而可逆。因此 为域。

对一族下降素理想 ，考虑 。对 ，每个 都至少包含 一者，从而至少有一个，假设是 被包含于无穷多 中，因而 。现在对全部素理想关于被包含关系应用Zorn引理即可。

：显然。 ：考虑到包含 素理想和 的素理想一一对应，而 中 是其一切素理想的交。

(i)(ii)：依题意 为素理想。对 ，若 不可逆则存在极大理想包含 ，和素理想唯一性矛盾。(ii)(iii)：显然。(iii)(i)：显然。

(i)：考虑 。(ii)：商环是整环， 意味着 或 。(iii)：将布尔环类比为 ，从而加法成为按位异或而乘法为与，容易注意到 应是 生成的理想。现在回到题目便是验证 ，而事实上 ，于是即得证结论。

和1.6没区别，考虑如果有非 的幂等元 ，那么有极大理想 包含 ，从而 是Jacobson，进而 可逆，矛盾。

只需证对有限情形， 是 中真理想。事实上归纳然后商掉 即可。

中极大元素的商环必是整环。

(iv)：依 中论述 为包含 的一切素理想之交。 (v)、(vi)：对理想 ，已知 且 。此外则 有开覆盖即因此存在 和 的有限子集 使 ，其中 而 。从而(vii)：显然有限多 的并拟紧。反过来 为若干 之并，从而取出有限覆盖即可。

(i)、(ii)、(iii)：(iv)：等于说 或 。

不可约等于说 且 ，则 ，即 且 ，则 ，而这就是素性的定义。

(i)：稠密开集依然稠密。(ii)：不可约空间的包含升链之并不可约，因此可以应用Zorn引理。(iii)：如果不闭那么取闭包会更大。 不可约意味着存在包含它的极大不可约子空间，故不可约子空间的并为 。Hausdorff空间中不可约集合无非单点。(iv)：先证明 不可约当且仅当 素。事实上 即 ， 不可约即意味着 之一包含于 ， 至少有一个等于 。于是至此 为极大不可约元即意味着 为极小素理想。

(i)： 即 当且仅当 即 。(ii)： 即 当且仅当 即 。(iii)：考虑到而于是 。(iv)： 为连续双射直接源于对应定理。现在考虑到 ，因此 连续，故 是同胚。(v)：(iii)。(iv)：显然。(vii)：

令 为只有第 个分量为 其余为 的元，对素理想 ， 故 之一在 中。因此 中的素理想 具有形式，于是 ，典范同构是显然的。现证明三个条件等的价性：
(i)(iii)：假设 ，则 且 。现在存在 和 使 且 幂零。考虑环直积的结构，我们希望构造某个 且 ，如果存在这样的元素那么 两侧同乘 知 ，类似地 ，于是 。现在回到 的构造，令 ，则 ， 是可逆元，因此 而 ，现在选取 和 使 即可。
(iii)(ii)：注意到在 中， ，而对幂等元 ， 可以得到另一个环的单位元。回到问题，就是注意到对幂等元 ， 容易验证同样是幂等元， 且 ，从而 。
(ii)(i)：上面证过了。

注：此题中(i)推(iii)也可以通过如下引理得到

中的幂等元可以被提升为 中幂等元，这里

假设存在 ，也就是 ，那么由中国剩余定理从而直接得到一个幂等元。

(i)：。(ii)：。
(iii)：假设 既开又闭。则 ，考虑在上一题(i)推(iii)过程中选出的 ，实际上过程给出了 其中 为可逆元，从而一切包含 的素理想包含 从而包含 ，包含 的素理想包含 ，由于Boole环中 ，故 ，同理 。
另证：依 ， 拟紧，于是 闭集从而拟紧，又因为 是开集，所以它是有限多 的并，于是只需考虑(ii)。
(iv)：只需证Hausdorff，而这是因为Boole环中素理想皆极大（）。

除加法结合律外皆显然，而事实上利用分配律易证 ，从而
反过来的验证和说明这两个对应关系互逆的证明同样循规蹈矩。

对Boole格 ，取其对应Boole环 ，则 为紧Hausdorff空间，且 即 意味着 。又因为 中理想皆radical，故 单，且 中已经证明了它满。

形式的零点定理等价于所谓弱零点定理，也就是 中极大理想 皆有 形式，事实上考虑 有 ，取 有 从而 。

反过来如果弱零点定理成立，那么对真理想 和 ，考虑 中多项式 ，则这些多项式无公共零点，从而存在 使得代入 便知 。

假若存在坐标环间的 -代数同态 ，取 ，现在只需证明对应的多项式映射 是 到 的映射，从而自然诱导出的 就是 。事实上 把 拉回到 ，也就是对任意 都有 ， 于是 。

我们也可以这么考虑：任何 一一对应于 中包含 的极大理想，也就是 中极大理想 。-代数同态 诱导出 满同态（ 中就有一份 ，从而自然是满射），于是对应某个极大理想 ，其中 。也就是说 把在 点处的取值拉回到在 点处取值，从而 把 打到 。

基本性质

直观上来讲，双线性和对应着“乘法”，例如 是 双线性映射，数乘是 双线性映射，如果 是向量场 的模， 是微分 -形式 的模，则他们的乘积 是 到函数环的模。

如果模 和 定义了取值于模 的乘法，而 是线性映射，则 定义了取值于 的乘法（也就是 双线性映射）。这样的使如下图表交换的 称为从乘法 到 的态射，由此模 和 的乘法定义了一个范畴 。

模 和 的张量积则是“最基本的”乘法。

环 上模 和 的张量积是 的始对象。具体来说，它是取值于模 的双线性映射 ，使得任意双线性映射 可以被唯一分解为某个线性映射 复合张量积，也就是

对任意模 和 ，存在同构意义下唯一的张量积

唯一性由始对象的特质给出，也就是假设有两个张量积 ，则存在 到 的唯一态射 ，和 到 的唯一态射 。类似的， 到 态射唯一，所以只能是 ，而 正是 到 态射，于是 ，同样的可得 ，所以 是同构。

存在性考虑 作为集合生成的自由 -模，商去生成的子模，则得到满足张量积泛性质的模。

注：上面证明存在性处的具体构造除证明张量积存在以外毫无用处。

对一般非交换环情形，比如说对右 -模 和左 -模 ，则应有约束 ，但在这种情况下只能得到一个Abel群结构，不大能得到一个合适的 -模结构，所以非交换环情形一般处理双模，比如说 是 -双模时可以使 成为 -左模，于是 都是双模时就能得到双模。

（交换约束）

映射双线性，从而给出 态射，类似地可以构造 态射，由 证明中同样的技术可知其为同构。

(i) (ii)

1. 只需验证 满足 的泛性质，而 出发的双线性映射相当于一对 和 出发的双线性映射之和，从而用 和 泛性质得到一对线性映射加起来即可。

2. 同样的道理，注意到 出发的双线性映射和 出发线性映射相同。

对域 上有限维线性空间 ，如果 是 一组基， 是 一组基，则 是 一组基，且将 以字典序排列考虑矩阵则得到熟知的Kronecker积

考虑

注： 作为线性空间是 维，而 是 维。

考虑有限生成Abel群的张量积。有限生成Abel群可以写成一些 和 的直和，从而我们只需要处理三类张量积： ， 和 ，前两者是显然的，而对于第三个张量积，我们将证明它是 。

由于 是 的生成元，所以 由 生成。显然 ，类似地 ，从而它至多有 个元素（考虑 ）。

而反过来，乘法给出双线性映射 ，分解出 到 的满射，从而 恰有 个元素。其实直接证明这个映射单也不难，只需考虑到这里面 ，如果它被打到 ，因为 被打到 ，所以 。

更一般的，用同样的手段我们可以证明 和

考虑乘法定义的映射 ，它显然良定义且双线性，从而分解出 。一方面显然这是满射，一方面 中元素皆有 形式，因而被打到 当且仅当 ，从而 ，因而这是单射。

注：这个命题也可依靠张量积的右正合性证明，具体来说考虑张量积上 ，而 自然同构于 （只需验证 满足 泛性质即可）。

对 -模线性映射 和 ，存在唯一的线性映射 使得

考虑双线性映射 ， 即可。

（结合约束） -模 和 -双模 的张量积 具有自然的 模结构，假设 是 -模，则有 -双模的同构

的 -模结构直观上应该由 给出，而事实上考虑双线性映射 ，唯一分解出 -线性映射 ，显然 且 ，于是 的确是 -模，类似地道理知 是 -模。

取某个 ，则 诱导出 -线性映射 ，而 关于 和 皆 -线性（后者只需考虑到 与 的数乘 在泛性质图表里复合后一致即可），从而给出映射 ，这便是我们所求的同构。

Reading: Section 2.2
Exercises: 2.4

张量积与正合列

如果 正合，那么在 是域时 正合(这里是指 )，然而一般来说并没有这种性质。张量积在这里失去正合性的问题在交换代数中有十分重要的地位，同调代数就以处理此问题为核心。

考虑 tensor上 ，其中 是乘 映射，则得到 ，第二个 是 ，保持正合，第一个是 ，因而不正合（所以只能把最左边的 删掉。

与tensor上 类似的还有考虑函子 作用于正合列，而在中， ，因而前两项处都正合，然而 并非满射（所以只能把最右边的 删掉）

对反过来的 函子，类似地中， ，而 是乘 映射，并非满射。

左正合， 右正合

比如说对 ，如果 且 被推出到 ，那么 ，由于 单， 视作 的子模而 则成为 线性映射，即 是某个推出的像。

同样对 ，如果 ，如果 被拉回到 ，也就是 在 上消失，而 ，于是 的确成为 的映射。

注：事实上 正合当且仅当 正合 ，类似地 处的正合性也是充要的，见Atiyah Prop. 2.9。

右正合

从正合列可得到正合列 和 ，然而考虑双线性中固定某个分量，就得到自然同构于是我们事实得到了正合列相当于说 中元素相当于 中在 上消失的元素，从而 事实上就是 。

注：上面证明中的自然同构告诉我们 是 的左伴随，它和余极限交换，于是自然这个命题正确。

这种右正合性可以用于计算张量积，具体来说比如说对于 ，如果能找到它的有限展示那么可以考虑同时tensor上 。

张量积和余极限

与之类似的有用性质是张量积保持direct limit

一个 -模的direct system是某个direct set （任何两元素集有上界的偏序集）到 - 的函子（也就是这个偏序集形状的交换图），也就是一族模 配备映射 （），满足 (i) (ii) 对 。定义它上的一个锥是模 配备一系列映射 ，且使如下图表交换（这里 是 ， 是 ）

两个锥 间的同态是使两个锥的图表带上这个映射之后的大图表交换的线性映射，容易验证这样我们定义了一个范畴。它的direct limit 就是其上锥的始对象，具体泛性质如以下交换图

它可以被构造为诸 的直和商去关系 ，这里 是 到 的映射，这些验证可以参见Atiyah第二章习题14-19。direct limit就是模范畴上的余极限。

而关于张量积， 就相当于 ，从而张量积和余极限交换。

是 的余极限，其中第一个 是乘 ，第二个是乘 ，第三个是乘 ，……直观来讲，第 个 可以看作 。某种意义上这可能就是direct limit有时被称为归纳极限的原因。现在考虑计算 ，则这相当于这里面每个箭头都是同构，从而它的余极限就是 。不过这里有需要小心的问题，比如说类似地计算 ，相当于要考虑一个direct system的余极限，但这里第偶数个 都是 ，所以事实上这个余极限就是 。

Reading: Section 2.2
Exercise: 2.13
Calculate Hom(M,N) and the tensor products of M, N over the ring k[x] for all pairs M,N of modules each of which is isomorphic to k(x), k[x], or k[x]/(fⁿ) where f is an irreducible polynomial.

平坦模

平坦模的概念由Serre在20世纪50年代引入，此后被Grothendieck证明在代数几何中具有极其基本的地位。直观来讲， 平坦意味着 具有极好的性质，某种意义上讲 可以看作一族局部环上的模 ，而平坦则是在说它们具有很好的性质，譬如说不会突然跳变这样的（？）。我们将证明局部化环 保持正合。

称 是平坦模如果 保持正合

不是平坦模，考虑 -模上张量积时 是平坦模

用构造局部化环完全相同的手段，我们可以定义局部化模 ，这里面的元素皆有 形式，而且如果 当且仅当 对某个 。自然地，对 ，可以定义出对应的映射 ，把 打到 。

模的局部化保持正合（-模正合列到 -模）

考虑正合列 ，局部化之后得到如果 在 中的像是 ，那么 被打到某个 ，其中 被某个 零化，从而 被 打到 ，从而 ，除掉 便知 。

我们把 定义为 ，这里 -模 可以看作 在 处的stalk， 看作“函数环的层”上“模”的“层”。就像 对应 ，对模的情况 就是 ，这里实际上定义了所谓拟凝聚层。

，作为推论， 是平坦 -模

我们可以定义映射 和 ，不难验证它们良定义而且互逆，因而为同构。

一般来说商不保持平坦，例如 ，于是一般来讲一般未必正合。

对一些比较好的情况我们可以探测到一些平坦模的结构。例如 是平坦 -模，如果 是整环，考虑 和正合列tensor上 知道乘 是单射，也就是 是无挠模。反过来，对一切PID上的模（以及一些更广泛的情况）， 如果无挠则平坦。

当且仅当对一切极大理想 ，

对 ， 意味着 ，这对一切极大理想成立，于是 。

正合当且仅当 总正合

因为局部化正合，所以只需证明 即可。事实上由于 平坦于是 。

平坦当且仅当一切 是平坦 -模

想说明 平坦，也就是保持正合，只需说明总正合，而 ，另外两项类似，于是由 平坦即得证结论。

注：如果把 看作平坦 -模并不影响证明，事实上平坦 -模可以推平坦 模，因为 是平坦 -模。

Reading: Section 2.2
Exercises: 2.20

平坦扩张

环同态 使 成为 -代数，对一个 -模 ，可以得到一个 -模 ，它自然诱导出映射 。 自然成为一个 -模，并且有自然（显然它是自然变换）的 -模同态 。一般来讲它不是同构，例如考虑 和 ，这里 。

不过如果 是平坦 -模而 有有限展示（有正合列 ）时，可以证明它是同构。对诺特环来说有限生成则有限展示（关系的子模有限生成），于是 是诺特环时只需要 有限生成。证明这一结论需要：

（5引理）对交换图

其中横行皆正合，有
(i) 若 满， 单，则 满
(ii) 满， 单，则 单

1. 考虑以如下路线追图
   取 ， 被 打到 ，一方面来说 在 中的像是 ，另一方面 满，所以存在 打到 ， 被 打到 ，而 单，所以 在 中的像是 ，从而存在 被 打到 。 被 打到 ， 与 在 中有相同的像，于是存在 在 下的像是 ，由 满，取 的像是 ，由交换性 的像是 ，于是 的像是 。

2. 的追图则更简单。假设 被 打到 ，那么 被 打到 ，由 单知 在 中的像被打到 ，于是由正合性存在 被 打到 ， 在 中的像是 ， 被打到 于是存在某个原像 ，由于 满所以有原像 ， 被 打到 ，但 单，所以 被打到 ，而 被打到 ，于是 。

假设 是平坦 -代数， 是有限展示 -模， 是 -模，则有 是同构

记 。对正合列应用函子 得到正合列从而由平坦性有正合列类似地先应用 则得到再应用 得到而对有限生成的自由模，显然 ，由于 和 都保持有限直和，所以 ， 同理。现在由5引理， 是同构（考虑正合列 和……）。

下面给出一个 不有限展示时 失效的例子。取 ， ， ， ，则（由于 ）而考虑到 ， 形如 ，诸 的次数小于某个固定的上界（也就是 ）。而 形如 ，诸 任取（也就是 ），显然这两者不能同构（事实上作为 -模一个可数维一个不可数维）。

Reading: Section 2.2
Exercises: 2.12, A3.11 (page 641)