Elena's Blog

NumPy 最重要的一个特点是其 N 维数组对象 ndarray，它描述了一组相同类型（type）的“项”。可以使用N个整数对项进行索引。ndarray中所有元素都具有相同的类型。

numpy.array(object, dtype=None, *, copy=True, order='K', subok=False, ndmin=0, like=None)返回一个被创建的ndarray。object可以是列表、元组、嵌套列表等。‘K’指不变顺序（保持F & C顺序，如没有选择最接近的，如list为C顺序），而A指不变顺序但默认C顺序，以行为主和以列为主（Fortran顺序）分别是C和F。

numpy中有许多数据类型，可以用一个字母简写
| Symbol | Type |
|--------|-----------------------------|
| i | integer |
| b | boolean |
| u | unsigned integer |
| f | float |
| c | complex float |
| m | timedelta |
| M | datetime |
| O | object |
| S | string |
| U | unicode string |
| V | fixed chunk of memory for other type (void) |
既可以有dtype='f'的简写，也可以写dtype=int这样的写法。

.tolist()返回ndarray转换得到的list。

numpy.zeros(shape, dtype=float, order='C', *, like=None)返回shape形状的全0数组，shape是单个int或者int的元组（例如(2,3)对应二行三列数组）。类似地函数还有numpy.ones，返回全1数组。

numpy.full(shape, fill_value, dtype=None, order='C', *, device=None, like=None)返回全fill_value的shape形状数组。

numpy.eye(N, M=None, k=0, dtype=<class 'float'>, order='C', *, device=None, like=None)[source]返回二维数组，只有第k对角线1其余全为0（k为0默认主对角线）。只给N不给M时返回N×N数组。例如

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>>> np.eye(2, 3, dtype=int)
array([[1, 0, 0],
       [0, 1, 0]])

random.random(size=None)返回半开区间 内的随机浮点数，不填size只返回一个数，否则返回size大小的矩阵。

numpy.linspace(start, stop, num=50, endpoint=True, retstep=False, dtype=None, axis=0, *, device=None)返回num个[start, stop]上均匀分布的数组成的数组（且以这两个数为起始结尾的）。可以选择性地排除区间的右端点。类似地numpy.logspace(start, stop, num=50, endpoint=True, base=10.0, dtype=None, axis=0)返回对数坐标下 均匀分布的数组成的数组。

numpy.arange([start, ]stop, [step, ]dtype=None, *, device=None, like=None)返回区间[start, stop)中按step步长均匀分布的数。arange(stop)被解释为在[0, stop)上，step则默认为1。

ndarray.ndim是ndarray的维数。ndarray.shape是一个描述了ndarray形状的元组。ndarrary.size是ndarray的大小，ndarray.dtype则是数据类型。

Python提供了functions，modules，packages和classes作为模块化程序的工具。

Function

docstring是一种出现在模块、函数、类或者方法定义的第一行说明的字符串，这种docstring就会作为该对象的__docs__属性。它形如

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def kos_root():
    """Optional Function Description (Docstring)"""
    ... FUNCTION CODE ...

函数返回值时如果用逗号分开多个返回值，python会自动把它们打包为一个tuple。

没有返回值的函数叫做void function，返回None。

positional argument按函数定义中参数顺序传参，不需要参数命名。keyword arguments通过kwarg=value传参。keyword arguments需在positional argument后。

在函数中修改不可变参数（如number，string）不影响调用函数的原程序（calling program）中传入函数的变量的值，而原程序中可变参数（如list）则会跟着改变。

使用形如def name(arg1=default_value, ... ):的句子可以为参数设置默认值，这样的参数称为默认参数（default parameters），调用函数时可以不给。一般来讲默认参数定义在函数参数末尾处。

可变参数（arbitrary argument）可以让你传入多个参数。*args允许函数接收任意数量的位置参数，这些参数会被打包成一个tuple，**kwargs则用于接收任意数量的关键字参数，这些参数会被打包成一个字典。。*args必须在positional argument之后，而**kwargs必须在最右。参数命名不一定非要用args和kwargs，但这是约定俗成的命名。

python程序可从命令行（command line）中接受任意多参数。import sys以接受这些参数，sys.argv是这些参数被打包而成的string的list（如控制台输入python a b c则sys.argv为['a', 'b', 'c']。

python程序中可以用global关键词使全局变量可以在函数中被修改。

lambda表达式是python中可用的内嵌（in-line）函数，它形如lambda arg1, arg2, ... : expression。

filter(function, iterable)函数用于过滤可迭代对象，过滤掉不符合条件的元素，返回由符合条件元素组成的新可迭代对象。function为判断函数，返回True或False。

map(function, iterable, *iterables)返回一个可迭代对象，由function分别应用在可迭代对象iterable每一项得到。如果传递了额外的可迭代对象参数，则函数必须接受相同数量的参数，并并行应用于所有可迭代对象中的项。对于多个可迭代对象，迭代器在最短的可迭代对象耗尽时停止。

Module

模块（Module）是是包含Python定义和语句的文件。文件名是模块名加上.py后缀，模块中的定义可以导入到其他模块或主模块中。在模块中，模块的命名（作为字符串）可以作为全局变量__name__的值使用。模块有一个包含任意Python对象的命名空间。模块通过import过程加载到Python中。

例如一个名为fibo.py的文件可以通过import fibo导入为模块。假若它具有以下内容

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# Fibonacci numbers module

def fib(n):    # write Fibonacci series up to n
    a, b = 0, 1
    while a < n:
        print(a, end=' ')
        a, b = b, a+b
    print()

def fib2(n):   # return Fibonacci series up to n
    result = []
    a, b = 0, 1
    while a < n:
        result.append(a)
        a, b = b, a+b
    return result

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>>> fibo.fib(1000)
0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987
>>> fibo.fib2(100)
[0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89]
>>> fibo.__name__
'fibo'

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>>> fib = fibo.fib
>>> fib(500)
0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377

模块可以包含可执行语句及函数定义。这些语句用于初始化模块。它们只在import语句中第一次遇到模块名时执行。事实上，函数定义也是被“执行”的“语句”；模块中函数定义的执行将函数名添加到模块的全局命名空间中。（如果文件作为脚本执行，也会运行它们）。

每个模块都有自己的私有命名空间，它是模块中定义函数的全局命名空间。使用modname.itemname可以调用模块的全局变量。

可以直接导入模块中的命名到当前调用这个模块的命名空间，例如

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>>> from fibo import fib, fib2
>>> fib(500)
0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377

而形如from fibo import *的句子则可以导入模块中全部不以_开头的命名。它有可能覆盖主程序中此前定义的命名，因而会有风险。

import后加as可以将一个新命名绑定到被导入模块命名，如import fibo as fib。

每个模块在每个解释器会话中只导入一次。

内置函数dir()用于查找模块定义了哪些名称。它返回全部模块中定义的名称对应字符串组成的列表。

Python有内置的help函数。调用内置的帮助系统。（此功能仅供交互使用。）如果没有给出参数，交互式帮助系统将在解释器控制台上启动。如果参数是字符串，则将该字符串作为模块、函数、类、方法、关键字或文档主题的名称进行查找，并在控制台上打印帮助页。如果参数是任何其他类型的对象，则生成该对象的帮助页面。

Package

包是一个分层次的文件目录结构，它定义了一个由模块及子包，和子包下的子包等组成的 Python 的应用环境。简单来说，包就是文件夹，但该文件夹下必须存在 __init__.py 文件，该文件的内容可以为空。 __init__.py 用于标识当前文件夹是一个包。这可以防止具有公共名称（如string）的目录无意中隐藏稍后在模块搜索路径上出现的有效模块。在最简单的情况下， __init__.py 可以只是一个空文件，但它也可以执行包的初始化代码或设置 __all__ 变量。

包是通过使用“带点的模块名”来构建Python模块命名空间的一种方式。例如，模块名A.B在一个名为a的包中指定了一个名为B的子模块。就像使用模块可以使不同模块的作者不必担心彼此的全局变量名一样，使用带点的模块名可以使NumPy或Pillow等多模块包的作者不必担心彼此的模块名。

可以从包中导入单个模块，如import sound.effects.echo。

模块中的代码也可以当作脚本被执行，就像导入它时一样，但__name__设置为__main__。

关于环的可视化，大体有三种比较直接的方法：画出环中每个元素、画出环的一组基和画出环的素理想。

环元素作为点的可视化

这种可视化适用于加群可嵌入线性空间的环，所以它对代数数域的代数整数环，从而对代数数论很有用。这种可视化最简单的例子如下此外有高斯整数 的可视化这种可视化手段的一个直接应用是：

是欧几里得整环，从而是UFD

取 上继承的复数绝对值，我们将证明它给出一个符合ED公理的尺度函数（这里ED定义我们要求尺度函数是 到某个良序集的映射）。也就是说，对 且 ，我们想证明存在 满足也即而我们只需考虑到如图所示，以某个 中元素为圆心，半径为1的开圆盘覆盖了复平面则立即可知上述 的存在性。

类似的方法可以毫无阻碍地推广到

是欧几里得整环，从而是UFD

画图立即可知。

不过绝对值并非总是尺度函数，例如对 ， 距 中整点距离至少是 。非但如此， 还可以证明一定不可能是ED，甚至不是UFD（只需注意到 给出不唯一的素因子分解）。也因此它有非主理想，事实上 就是一个例子，这一点的证明依然可以画图这里 是全部黑色格点（从而主理想都是这个矩阵格点旋转伸缩，所以也是矩阵形状的格点），而 是红色三角形格，并非矩形格点，因此不可能是主理想。

不过这个问题可以一定程度上“修复”。例如考虑 。如图所示，这显然是ED

某种意义上ED是稀有的，即使在UFD中也是如此。例如考虑 是UFD，则 也是UFD，但并不一定是PID（例如 ，从而未必ED）。而实践中的PID大多是ED，例如 、 、 离散赋值环、 等，不过也有反例。

是PID，但不是ED，这点可以作如下考虑：假若它是ED，那么取某个尺度函数最小的不可逆元 ，则 中元素都可以选取一个可逆或者是 的代表元，但 中可逆元只有 ，所以 至多只能有三个元素，但可以验证 对任意 都至少有四个元素。

环一组基作为点的可视化

Exercises: 1.18, 1.19

如果我们的环像 一样，是域 上线性空间，那么就可以通过它的一组基来可视化这个环，例如：

考虑 ，我们只需要考虑把商掉的理想画出来红圈中的元素便给出商环的一组基，于是立即可知 。

考虑二阶群作用于 ，把 打到 ， 打到 ，则它的不变量是某个多项式环上的自由模。这里画图证明不变量 上的自由模注意到不变量环同构于 （其中 ），于是我们也可以用上面的画图道理来研究例如圆锥 的结构等等。譬如说考虑 中的子式生成的理想，也就是 ，注意到 而 ，令 ，则立即可知这是 被 作用的不变量（ 是三次单位根），从而知 是 上自由模，且是整环，从而 是素理想。类似地通过画图我们也能知道 不是 上有限生成模

对形式幂级数环 ，Weiestrass多项式是 中的首一多项式 ，其中 常数项为零（也就是不可逆）

（Weiestrass预备定理） 中任何形式幂级数可以唯一写作 ，其中， 是某个Weiestrass多项式， 是可逆元

只对 情形证明其中任何形式幂级数可以唯一写作 ，多元情况的证明没区别。

假设 非零，把 因子提出来，那么不妨设系数非零的 中次数最小者为 ，则如图所示，给 乘上某个 可以消去 项，再乘某个 可以消去 项……这样下来乘上这些元素的无穷乘积即可消去诸 ( )，进而类似地乘 消去 ，……把这些乘积再乘起来得到某个可逆元，作用于 则得到Weiestrass多项式。从这样证明中其实也立即可见如此分解的唯一性。

域上多元形式幂级数环是UFD

考虑二元情况。假设 不可约且 ，想证明 或 之一成立，则只需考虑 是Weiestrass多项式的情形。现在 ，如果可以证明 是Weiestrass多项式，那么由 是UFD可以推出 或 。而想证明这点只需要考虑将 分解为 ，其中 是Weiestrass多项式，于是 给出 在 意义下的唯一分解，由是知 。多元情形与此并无区别，归纳即可。

注1：我们不能希望像 UFD推 UFD那样证明形式幂级数环UFD，因为 UFD不意味着 UFD，例如 是UFD（ 在 的局部化）但其形式幂级数环不然。

注2：收敛幂级数环并非UFD。例如考虑一个有无穷多零点 的收敛幂级数 ，那么 皆整除 ……

环素谱的可视化

Exercises: 1.24

引入素谱的动机从一类特殊的环说起。对紧Hausdorff空间 ，考虑 （即 连续函数环），它是一个交换 -代数。 的极大理想和 中的点有着一一对应， 对应极大理想 。类似地也可以通过这样的办法来重建 的拓扑。

具体来说，首先证明 中素理想 中函数公共零点存在且唯一，从而极大理想自然具有 形式。如果不存在，那么对每个 都存在 ，从而在 某个开邻域非零，那么由紧性可以取出有限个 使对应开邻域覆盖 ，从而 为可逆元，矛盾。而若 是公共零点， ，那么取 的不交开邻域 ，由Urysohn引理存在 在 取 ，在 取 ，和 在 取 ，在 取 ，则 意味着 之一属于 ，可知 属于 从而 并非公共零点。

这种漂亮的对应我们希望也能推广到任意环上，于是得到了所谓环的极大谱，但有一个问题是极大谱不具有函子性（极大理想的原像不一定是极大理想，如 ）。不过考虑到 的极大理想对应 满射的核， 复合不一定能确保满射，只能保证像 的子环，也就是像是整环，所以应该把极大理想修改为素理想，而且这样确实可以处理这一问题。于是我们便得到了素谱：

环 的素谱 定义为 全体素理想组成的集合，配备由 定义闭集所给出的拓扑，其中 为全体包含理想 的素理想组成的集合。具体的验证和一些性质见Atiyah第一章习题。

零环的素谱是空集； 由单点组成。

中极大理想的拓扑和 的拓扑完全相同。事实上考虑 子集 的闭包对应 中的极大理想，证明同样Urysohn秒杀之。

的素理想里面极大的部分形如 ，其中 ，而唯一的非极大素理想是 ，它在拓扑上是一个“一般点”（generic point），闭包是全空间。可视化的话就可以画成如图中的样子，不过全体闭集是全集和一切有限集，蓝色的是一般点

考虑 ，其中极大理想是 ，非极大理想是 ，闭集是 的有限子集或 ，它可以被可视化为这样的形象，其中 是一个“一维的”一般点，而诸极大理想落在其闭包上

中，极大理想是 和 ，非极大理想依然是一般点 ，某种意义上可以看作“对折”的 。更一般地来说， 是 加上 作用于 的轨道，其中 为 的代数闭包。

令 ， ，则 便是 的特征值（考虑到 ，从而非零素理想都形如 ），而特征值被称作谱是由于量子力学上的渊源，这也是为什么素谱被称作“spectrum”的原因之一。

某种意义上我们可以这样分解

考虑 ， 嵌入诱导出 ，从而给出这样的可视化

中，极大理想形如 对应单点，其它非零素理想形如 其中 是素元（ 中互素多项式 只能有有限多个公共零点，从而对非主理想 ， 是基数 的有限集（按零点定理如果它只有唯一公共零点，则具有 形式），从而可约，于是 非素理想），除此以外依然有一般点 ，可视化如图

中，极大理想只有 （ 元素皆可逆），而非极大素理想皆为主理想（考虑到 的分式域 ，也就是全体 组成的形式幂级数域，假设素理想 非主，也就是存在互素 ，对 使用Weiestrass预备定理，则要么直接 在 中，要么不妨设 是Weiestrass多项式，但后一种情况下在 中存在环量组合为 ，也就是 中存在 使 ，于是知 ，类似对 应用预备定理知 ，从而 ），形如 ，其中 不可约，某种意义上可以可视化为过原点的全体“无穷小”这样的

考虑 ，首先由 得到 ，然后考虑这个映射的纤维： 的原像即为 中包含 的素理想，也即是 ，而对 的原像，考虑 中常数项平凡的素理想 ，则有 （考虑到 在 中生成的理想形如 ），

考虑模形式定义Hecke算子考虑 张成的Hecke代数，于是这个Hecke代数也可以视为 的子环，由一切 生成，而已知 ，于是我们知道这个环 实际就是所有 ，其中 。通过 嵌入得到 ，而考虑到 即 ，于是有如下可视化像691这样的素数被称为Eisenstein素数。

Exercises: 1.13, 1.14
Draw Spec R, where R is the subring of elements (m,n) of the product ZxZ with m = n mod 100.

素谱的拓扑

环 的素谱 拟紧

被开集族 覆盖相当于说不存在某个素（极大）理想包含一切 ，也就是诸 生成的理想是 ，其中有限多 环量组合出 。

注：拟紧和紧的定义完全一致，叫这个名字只是因为20世纪50年代拟紧被定义时，紧经常指紧Hausdorff。

，而后三个环都只有一个素理想，因而 形如

令 为Klein四元群，考虑 。假设 为 的特征，也就是 中同态，则 是幂等元。具体到 ， 由四个元素 组成，其中 且 ，从而易知 有四个特征，于是得到四个幂等元满足 ， 且 ，于是从而可以可视化为

Exercises: 1.10, 2.25
Draw Spec Z[Z/6Z] = Z[x]/(x⁶-1), the group ring of the cyclic group of order 6.

不可约空间

称拓扑空间 不可约，如果 非空且不是两个真闭子集的并，或者等价来说 中任意两个非空开集有交

不可约是极强的性质，而且高度非Hausdorff，事实上Hausdorff且不可约等于说 是单点。

，从而不可约。

令 为Klein四元群， 是一个非不可约空间的例子。事实上 嵌入，以及 的四个特征给出素谱间的反向连续映射。事实上考虑 的纤维，其中 包含素数 的素理想 一一对应于 的素理想，而 到域的同态像特征 ，从而只能是 或 ，由是知 时， 的素理想对应 的四个特征，而不包含任何素数的情形就是 的例子。接着考虑 的四个映射，便得到可视化总共这里有四个不可约分支，对应四个 中点的闭包

形如 轴和 轴之和，这是两个不可约分支（irreducible component）

不可约

假设 是环 的乘性子集， 是与 不交的理想，则存在素理想包含 且与 不交

对全体包含 且与 不交的集合应用Zorn引理得到某个极大元 ，假设 ，则 和 不能都与 有交，不妨假设是 ，从而由极大性 。

中，某个闭集不可约当且仅当其具有 形式

事实上假设 不可约，那么不妨设 ，现证 是素理想。事实上对 ， 意味着 ，则由不可约应有 或 ，不妨设 ，那么假若 ，则 与 不交，应用引理得到素理想 包含 且与 不交，与 矛盾。