Emil Artin之Algebra with Galois
Theory中Ch5的省流版。以及Borcherds的Galois Theory课的部分内容
分裂域与代数闭包
设
，则存在域扩张 使 在 上分裂
在 中有素因子分解扩域
得到 的一个根，在其上
至少多出一个线性因子，如此重复即可。
5.1中得到的扩域是最小的使
分裂的扩域
任何 分裂的扩域都包括 的根
，也包括它们生成的 -代数。反过来， 由 的全体多项式组成，从而 由 的全体多项式组成，……
假设 与 同构， 对应于 ，假若 分别是 分裂域，则 和 同构可以延拓至 同构，特别的， 在 上分裂域在同构意义下唯一
素因子分解给出对线性因子个数
反向归纳（ 推 ）： 关于 和 关于
的单代数扩张同构，所以把基域换成 和
，则即可归纳。
对域
，存在 的代数扩域 ，使得 代数闭，把 称为 的代数闭包
考虑 中全体不可约多项式集合
，考虑环 中诸
生成的理想，它是真理想（只需证明对有限 个不可约多项式这个结论成立，然后对
归纳商掉 即可），从而包含于极大理想 中，令 ，则 可以嵌入 （因为 都可逆）且 是 的根，从而 是代数扩域。
现在假设 在 上代数，即有关系则因为 有限扩张，
有限扩张，所以 在 上代数，即 。
注：代数闭包在同构意义下唯一，但并不具有函子性（比如说事实上考虑它的构造依赖选择公理），以及绝对Galois群
也如此，但取定了代数闭包之后的（带基点）绝对Galois群具有函子性。域论的概念和拓扑中有所对应，扩域对应覆叠空间，Galois群对应基本群，而此处和代数闭包的情形类似，道路连通空间的基本群和基点选取无关，但是不同基点之间基本群的同构证明依赖两点间道路选取，所以
不具有函子性，但 具有函子性。
一种绕过这组问题的手段是考虑Groupoids（态射皆iso的范畴），我们有
的absolute Galois
groupoid（Object为代数闭包 ，态射则是代数闭包间同构），与
的fundamental groupoid（Object是
，态射是道路的同伦类）类似。
代数闭，这是著名的代数基本定理。我们给出它的一个拓扑证明。考虑不可约多项式则
非零，于是在异于原点的一处。而对充分大的 ，在这个圆上 的轨迹近似于大圆，从而随 绕大圆一周 绕原点 周，然而在 缩小到 的过程中winding number由 变化到 ，那么应有一个中间时刻 过原点。
Puiseux级数域
代数闭。
有限域
有限域
是 的分裂域，其中 ， 阶有限域在同构意义下唯一
找到有限域上不可约多项式的一个有效算法是筛法，和整数情况并无区别，比如说我们可以找到
上的不可约多项式是这多少使我们可以具体计算
，譬如说 ， 当然这里还有
，我们自然会去好奇这两个不同构造间具体的同构如何。事实上，考虑 ，从而 ，于是 ，从而 给出我们想要的同构。
我们可能很想要一个“标准的”多项式取法，让我们可以比较典范地把 写成对应多项式在
上的商，不过一般来讲并没有这么一个典范的取法。
当且仅当
事实上考虑 作为
-线性空间即知 ，反过来如果 ，那么 在 上的分裂域就是 。
作为一个应用，我们可以计算
上某个首一特定次数的不可约多项式数量。比如说对 上
次不可约多项式，则按极小多项式考虑只需考虑
作为结果我们知道 可以被分解为 个 次多项式， 个 次多项式， 个 次多项式和 个 次多项式的乘积。
可分扩张
假设 是 的分裂域，则
假设
有不可约因子 ， 的根是 ，则 给出 与
的同构，从而延拓至
的自同构
在 上有素因子分解诸 非线性，如果
在 分裂域 中皆无重根，则 中没有 以外的元素在 作用下不动
事实上只需证明，对代数扩张 ，假若 极小多项式 在 中分裂无重根，则 作用下， 中没有 以外的元素不动。不妨设 的根 ，则 给出
的自同构，则作用于不动元
得到多项式
有 个根，因而系数全为 ，于是 。
接着对 反向归纳，如果 情况下命题成立：考虑取 的根 ，则在 中有分解 其中 整除某一
。 仍然是 在 上的分裂域，而 从 处继承来无重根的性质。
特征
域上不可约多项式无重根（也就是可分），特征 上不可约多项式则会分裂为
形式
如果不可约多项式 有重根 ，则 ，这意味着 ，考虑次数知 。特征 直接导致矛盾，特征 则推出 具有形式，令则 ，如此重复直至 不可再使 增大。而意味着
不可约，从而无重根。现在有
，取 为 的根，则
有限域的代数扩张皆可分
只需考虑有限扩张， ，则因为 可分（考虑无重根或者导数 ）所以扩张可分。
考虑一个不可分扩张的例子。假设域
有正特征 ， 是代数扩张，这里 不可约，但在 中 。
假设
是代数扩张，设 是 的可分闭包（即所有 中可分元组成的域），则 是可分扩张，而 是纯不可分扩张，也就是 中所有元素都是某个 的根，这里
Galois理论的主要关注点就在于可分扩张的部分。
正规扩张
一般来说正规扩张的正规扩张未必正规，例如 。
群 在 中的不同特征（即
中非零元）
线性无关，特别的，
的不同自同构作为乘法群的特征 -线性无关
假设诸
的非平凡线性组合为
，则取某个极小线性相关组换
为 ，再两式相减得到取使
的
，则与极小线性相关的条件矛盾。
假设
是由 的自同构组成的群 中元素， 是 的不动域，则
只需证对 ， 中 个元素
线性相关。方程总有在
中的非零解 。因为 是群， 总会出现在
中，那么如果能从这组解诱导到一个诸 都在 中的非零解，则就得到
，从而线性相关。
现在考虑以上方程被
作用，也就是这无非是以上 个方程的置换，所以 作用于 依然是方程的解，从而
是方程的解，而这组新解因为对称性被 作用不动，从而属于不动域 。
现在只需要找到合适的
使新解非零。考虑到 乘上任意 中元素仍然是以上方程的解，所以如果
，可以设 为任意 中元素。现在设 为使
非零的
（按线性无关存在性有保障），那么便证完。
是 -自同构 组成的群， 是 的不动域，则 是可分正规扩张
取 ，令 ，将诸 中不同的取出来
，考虑令
作用于 的系数，则无非相当于对
做置换，所以
保持不动，因而系数都属于 。诸
中出现 ，所以 中有 。
事实上 中的 是不可约多项式。考虑 作用于 知 都是 的根，于是 是以
为根的非零多项式中次数最小的，从而不可约。这给了我们一种求 极小多项式的办法。
有限扩张 是正规扩张当且仅当
是 上某个可分多项式的分裂域
：定理 。
：取 为 一组基，由 给出可分多项式
，则考虑它们乘积的分裂域即可。
如果 正规， ，则 正规
事实上我们有
设 是代数扩张，则以下条件等价：(1) 正规 (2)如果 中不可约多项式 在 中有根，则 在 中分裂 (3) 是 上某个可分多项式族的分裂域 (4) 取 的代数闭包 ，对 ，对任意 ，
(2)(3)：取 上元素 的极小多项式 ， 的分裂域是
。
(3)(4)： 保持 不动。
(4)(2)： 中不可约多项式 在 中有根 ，在 中还有其它根 ，则事实上存在 的 的 -自同构，于是 。
Galois理论基本定理
设 是有限扩域，，以下条件互相等价（满足其一者称为Galois扩张）：(1)
是正规可分扩张 (2) (3) (4) 是某个可分多项式的分裂域
(1)(2) ：对
，由于 正规， ，如果 ，则
到 有 种嵌入，再次基础上 在 中有
种取值…… 有 种嵌入。考虑到 是分裂域，所以 。
(2)(3)
：从前面证明中也可以得出 对任意 成立，从而对扩域 有于是 知
。
(3)(4) ：定理 。
(4)(1) ：显然。
（Galois
Corresponding）有限扩张
Galois当且仅当任何中间域 和子群 有反序的互逆双射
假设 Galois。从 出发到 ，我们知道 ；从
出发到 ，我们已知
，图解如下
现在我们想证明这两个包含关系取到相等，只需证明它们具有相同大小（对域指index，而群指阶数）。
我们将证明命题中的两个映射都保持“大小”，从而我们想证明的两个包含关系两端大小相同。具体来说，我们将证明
和
总成立。上面已经证明了
Galois，从而
。到现在为止还没有用上
Galois的条件。
现证 。 正规所以
，从而
中自同构构造可以分解为两步，取出 中映射和从
到 的延拓。取定
， 到 自同构的延拓（也就是满足
的自同构 ）数量不超过
， 的取法不超过 ，于是而
Galois，从而 ，因而上面的两个 和
的不等式都严格取等。特别地， 到
自同构的延拓数量严格等于 ，而这些延拓的数量等于 ，于是我们证明了
。
注：如果没有
Galois的条件，令 ，我们将得到 子群和
子扩张的一一对应（事实上
Galois……）
考虑 在 上的分裂域，Galois群同构于
，具体来说就是
的置换，它Galois群的子群格和子扩张格如图，标绿线的是正规扩张/正规子群，画圈的是共轭类
考虑域扩张
，首先注意到Frobenius自同构 的order是 （），而 ，于是
一些子群格和子扩张格如下
考虑 ，其中 是七次单位根，则易见 是
的乘法群，它的子群格如下
由此我们可以反求出它对应的子域。对三次的子扩张，它在
和
（也就是复共轭）下不动，于是其中包含 ，令
考虑
则立即知遂求出
的多项式
。对另一个二次的子扩张，考虑 ，则 自然在对应子群作用下不动。现在考虑
，于是 ，从而
。
，具体来说
形如具有二面体群的乘法规则
。事实上我们可以把
的四个四次根画出来
由于 被保持，所以
中元素都是正方形的对称。它的
阶子群有
、 和
，二阶子群则有五个，子群格形如
也可以可视化如图，上面五个二阶群中绿线是对称，中间的是旋转180度，下面的则是矩形的对称群和正方形的旋转群
通过这些Galois群可以很容易地计算出对应的不动域
具体来说，由于
是翻转，所以正方形旋转群的不动域是
；两个扁矩形的对称中，如果不是180度旋转（也就是改变这些四次根的平方的情况）则需要带一个
的翻转，所以对应不动域分别是
和
；显然水平竖直对称分别对应
和
，180度旋转是它下面三个子扩张之和，所以是
，而对两个斜向的对称，考虑比如说把
和
加起来，则得到一个不动元
，所以可以算出两个不动域分别是
和
。
这里左边的两个对称和右边的两个对称分别互相共轭（从而不动域也共轭），除了这四个子扩张，剩下的子扩张皆正规。