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(i)(ii)：8.1和8.3。(ii)(iii)：显然。(iii)(i)：8.5。

不妨设 是局部Artin环，那么按零点定理 是 的有限代数扩张，而 中有包含链

考虑将 分解为 和 ，由于Going-up所以 是闭映射（也就是 中素理想都是 形式），由于 满所以 是闭映射（对包含 的 ， 是 中素理想，从而由于 ， ）。

在 上整，则对 ，假设其中诸 ，则也就是 在 上整。

考虑 的子环 ， ， ，如果 在 上整，则存在 使得从而得到由于 所以 即 ，从而考虑上式在 处取值即得矛盾。

(i) 向上乘以 得到 (ii) 按5.8与5.10，由于 中极大理想的收缩皆极大且 中极大理想都是 中极大理想的收缩，故显然 的Jacobson根就是 Jacobson根的收缩。

另证：对 中Jacobson根 ， ，对一切 ， 在 中可逆，从而在 中可逆，故 Jacobson根的收缩包含于 的Jacobson根。

假设 ，取首一多项式 使 ，则 给出 满足的首一多项式。

假设 ，诸 且 ，则 意味着 或 之一属于 ，如此归纳下去便知 。

(ii) 由分裂域相同构造可以找到扩环，使得 分裂为线性因子，而这些根满足 从而在 上整，因而 的系数都在 上整，但 在 中整闭，从而属于 。

假设 在 上整，从而在 上整，也就是满足假设 ，考虑最高次项系数知 在 （或者 ）上整从而属于 ，、 与 皆在 上整，从而 在 上整，由此重复降次知 。同样，由于 和 都在 上整，从而 中任何元素都在 上整。

另证：按上一题结论有 。

考虑准素分解 ， 即 ，而 中已经证明 的不可约分支就是极小素理想对应的 （其实无非Zariski拓扑定义），欲证之结论无非 的重述。

则 。

考虑到 而即知这是一个reduced的极小准素分解， 与 isolated而 embedded。

用Urysohn很容易证明如果 是 中的素理想，则 有唯一公共零点（也就是包含于唯一的极大理想 ，极大理想皆形如 （或者是公共零点存在）由compact保证，而 与 两两不同（也就是公共零点唯一）由Urysohn保证），从而任何 中准素理想有唯一公共零点。现在由于 无穷，如果 有准素分解，也就是可以写作有限多准素理想的交，，那么取一个不是任何 公共零点的 ，每个 中取 ，那么 ，然而 矛盾。

(i) 显然。
(ii) 是整环。
(iii) 在 中 ，则如果 非零，按 第三问知存在 使得 ， ，于是按 准素性 的每个分量 都有一个幂次属于 （也就是 ），再由同一道题第二问知 接幂零推出 幂零，即得证 准素性。
(iv) 由 第二问，考虑 知 。
(v) 假设素理想 ，则 ，然而 是 的极小素理想，从而 ，但 。

显然是素理想。假设 ，如果 皆非零则必须都属于 （否则取 中不只含 的项中字典序最大的两个乘积），从而由于 ，如果 都不属于 ，也就是次数最小项次数小于 ，那么 都必须常数项为零，也就是属于 ，因此 准素。

如果 是零因子则显然 ，反过来，假设对某个 有 ，在 中考虑则只需证明极小素理想元素皆零因子，从而存在某个 ， 零化 。如果 是极小素理想，则 在 中的扩张正是 （因为是唯一素理想），其中元素皆在 中幂零，也就是对 ，存在存在 使 ，取极小的 则 被 零化，从而是零因子。
在 中，考虑到 即可。
假若 有准素分解，取 ， 是包含某个 的极小素理想，$(0)=_{i=1}ⁿ _i $ ，则 ，于是由 知 ，由极小性 。

(i) 中元素被 中元素零化，按素理想定义一定属于 。
(ii) : 如果 是极小素理想，则 在 中的扩张正是 （因为是唯一素理想），其中元素皆在 中幂零，也就是对 ，存在存在 使 ，由是 。: 如果 ，则任意 中元素在 中的像幂零，于是知 中 是nilradical从而是唯一素理想，因此 为 的极小素理想。
(iii) 意味着 被某个 中元素零化，从而 。
(iv) 如果 ，考虑包含 的极小素理想 ， 中元素均不零化 ，从而 。

Reading: Section 3.1
Exercises: 3.1, 3.2, 3.14

我们想在一般的模上找到一些模，拥有比较接近有限长度的性质，从现在开始我们考虑诺特环上的有限生成模。比如说 ，则 取有限生成Abel群，我们知道 都可以被写成这里某种意义上的基本组成是 和 ，虽然并非单模但都是 商素理想。首此启发，我们考虑能否如此分解 ，使得有子模的链其中 都同构于某个 。

若 是诺特模，则存在某个素理想 ，使 同构于 的子模

取极大的使得存在 的某个子模同构于 的理想 ，而 同构于 的子模等于说 是某个 ， 。现在证明 是素理想：假若不然，存在 且 ，考虑 ，则 包含 和 ，而 意味着 ，从而 ，与 极大矛盾。

对诺特环 上的有限生成模 ，存在子模的链其中 都同构于某个

取 的子模 ，取 同构于某个 的子模，则在 中的原像 满足 ，如此取出一系列 ……由于 诺特，所以取出来的升链稳定。

我们现在想像合成列一样定义 在有限长度的 中出现的次数，并且也希望它在正合列上具有加性。

比如说直观上在 中，我们希望 和 出现的次数都是 。现在考虑则 的次数在 上为 ，在 上为 ，从而这样的次数并不具有加性。如果我们修改定义比如说作为商出现的情况也计入，那上面正合列的核是 ，所以 会在 中出现任意多次。

但有一些情况是可以定义次数的，比如说 在 中出现的次数，就可以直接定义为 ，此时如果 同构于 直和某些有限群，则 出现的次数自然是 ，显然这是加性的。这其实就是所谓有限生成群的秩。

是 的链中 在 中出现的次数。

正十七边形

称一个复数可尺规作图，如果它可以从有理数中通过域运算和开根号构造（考虑尺规作图道理，加减乘除通过画平行线和比例论手段，开根需平分辐角；而反过来，联立二次方程（圆）和直线只能得到二次扩域）。

可尺规作图当且仅当 在一个 次的正规扩张中

假设 可尺规作图。考虑一系列域扩张其中 且 其中 ， ，其中 ， 取遍 ，类似地 ， 取遍 ……由于每一步都把 的所有共轭都添进来，所以 是正规扩张（它是分裂域）。

假设 在某个 次正规扩张中，那么这个扩张的Galois群是 阶。而有限 -群皆幂零，所以合成列给出二次域扩张的塔。

注：这里的正规不可少，因为比如说不是所有四次方程的根都可尺规作图。

正七边形不可尺规作图。事实上 的极小多项式三次。

现在考虑尺规作正 边形，这多少相当于考虑 次单位根是否可以尺规作图。考虑到 ，后者以 代 再用Eisentein判别法知不可约。令 ，则 的其它根是 ，从而 Galois ， 扩某个 次单位根形式的扩张成为分圆扩张。

易见 ，那么正 边形可尺规作图等于说 具有 形式，这是著名的费马素数，可以证明 具有 形式，从而这些素数就是

对 的情况，我们知道 有原根 ，于是有子群的合成列显然一个被 固定的元素是 ， 的陪集有 ， ……所以也有 的共轭（被某个自同构作用后的像） ， ……类似地四阶群的陪集有 、 、 、 ，对应 等等。

考虑到 ，于是 可以写成带 的二次根式 。类似地，我们考虑 的共轭 ，则 且 是 的共轭，所以 可以写成某个 不动域系数的二次方程的根。类似地考虑 和 对应的和……而我们可以计算 ，从而一路下来可以将 用一堆有理数和二次根式表达出来。

代数基本定理

我们已经知道一些拓扑或者分析手段的证明，比如说考虑winding number，或者比如说假设没有零点则 全纯有界，按Liouville定理是常数等等。现在给出一个比较代数的证明。

假设已知
(i) 是特征 的有限扩张
(ii) 奇次数的 中多项式都在 中有根
(iii) 没有二次扩域（相当于说 中元素总有平方根）

取某个 的有限正规扩张 我们将证明 。特征 意味着 Galois，令 ，条件(ii)意味着 没有奇次数的非平凡扩张，从而 的奇数指数子群只有 自己。假设 ，那么 的扩域相当于 的子群，于是 (iii)相当于 也没有偶数指数的子群。

现在 的Sylow 2-子群是 自己，从而 ，因而 ，从而 是幂零群，如果 则 有指数 子群。

本原元定理

如果 满足 ，则称 是一个本原元素。

如果 有限可分，则只有有限多个中间域

考虑某个有限Galois扩张（比如说根扩出 的有限个极小多项式的分裂域） ，令 ，则 的中间域都对应 的子群，而 是有限群。

无限域上线性空间不能表示为有限多个真子空间的并

取真子空间 ，不妨设 不包含于 ，取 中不在 上的点，再取 中不在 上的点，两点连线不在任何 中，所以和每个 都只有至多一个交点，而上面有无限多个点。